Um recipiente de volume V0 contém n moles de um gás de Van der Waals que se encontra à temperatura T0. O gás é submetido a uma expansão isotérmica e passa a ocupar o volume 2 V0. A equação de estado do gás é,
(P+n^2 aV^2)(V-n b)=n R T a e b são constantes.
a) Calcule a quantidade de calor recebida pelo gás durante a expansão isotérmica.
b) Calcule o trabalho realizado pelo gás na expansão isotérmica.
c) Calcule a variação da energia interna, De<a U na expansão.

Passo 1

O enunciado trata de um gás de Van der Waals, com n moles a temperatura constante T0, que se expande de V0 até 2V0. A equação de estado é
l(P+n^2aV^2r),(V-nb)=nRT0
Vamos precisar de:
– A expressão de P(V) em função de V.
– A definição de trabalho W=integralV0^2V0P,dV.
– A primeira lei da termodinâmica De<a U=Q-W.
– A dependência de U para o gás de Van der Waals, que satisfaz
dU=CV,dT+l[Tl(partial Ppartial Tr)V-Pr]dV
e, para VDW, T(partial P/partial T)V-P=n^2a/V^2.

Passo 2

Obtemos P(V) isolando P na equação de estado:
P=nRT0V-nb-n^2aV^2
Na expansão isotérmica, o trabalho realizado pelo gás é
W=integralV0^2V0P,dV =integralV0^2V0l[nRT0V-nb-n^2aV^2r]dV

Passo 3

Separemos em duas integrais:
W =nRT0integralV0^2V0dVV-nb ;-;n^2aintegralV0^2V0dVV^2
Para a primeira integral usamos
integralV0^2V0dVV-nb =ln2V0-nbV0-nb
Para a segunda,
integralV0^2V0dVV^2 =l[-1Vr]V0^2V0 =-12V0+1V0 =12V0

Passo 4

Substituindo os resultados, obtemos
W =nRT0ln2V0-nbV0-nb ;-;n^2acdot12V0

Passo 5

Para calcular De<a U num processo isotérmico usamos
dU =CV,dT+n^2aV^2,dV
e como dT=0 sobra
De<a U =integralV0^2V0n^2aV^2,dV =n^2aintegralV0^2V0dVV^2 =n^2acdot12V0 =n^2a2V0

Passo 6

Pela primeira lei Q=De<a U+W. Logo
Q =n^2a2V0 +l[nRT0ln2V0-nbV0-nb -n^2a2V0r] =nRT0ln2V0-nbV0-nb

Resposta

a) Q=nRT0ln2V0-nbV0-nb
b) W=nRT0ln2V0-nbV0-nb-n^2a2V0
c) De<a U=n^2a2V0

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