Um ciclo de Carnot opera com vapor d’água entre os limites de pressão de 7 MPa (caldeira) e 10 kPa (condensador).
a. Sabendo que a temperatura de saturação a 7 MPa é aproximadamente 285,8^{\circ} \mathrm{C} e a 10 kPa é 45,8^{\circ} \mathrm{C}, calcule a eficiência térmica teórica deste ciclo.
b. Explique por que a eficiência real de um ciclo de Rankine operando nestas mesmas pressões será menor que este valor. Calcule.

Passo 1

Vou colocar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Pressão da caldeira: \,P_H=7\\ \text{MPa}.
  • Pressão do condensador: \,P_C=10\\ \text{kPa}.
  • Temperatura de saturação a 7\\ \text{MPa}: \,T_H^{\circ}=285{,}8^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de saturação a 10\\ \text{kPa}: \,T_C^{\circ}=45{,}8^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede duas coisas:
a. Calcular a eficiência térmica teórica do ciclo de Carnot operando entre essas temperaturas.
b. Explicar por que a eficiência real de um ciclo de Rankine operando entre as mesmas pressões será menor que o valor de (a) e “Calcule” (isto é, pedir a comparação/valor prático).
Observação importante: para calcular numericamente a eficiência de um ciclo de Rankine (mesmo o ideal, sem perdas) é necessário conhecer propriedades do vapor (entalpias e entropias) em certos pontos — ou seja, é preciso usar tabelas termodinâmicas de água/vapor (ou um software de propriedades). O enunciado não forneceu essas entalpias/entropias; por isso a parte numérica exata da eficiência de Rankine exige tabelas. Vou, portanto:
  • Primeiro calcular passo a passo a eficiência de Carnot (totalmente determinada pelas temperaturas dadas).
  • Depois explicar didaticamente por que o Rankine real é sempre menor que Carnot, mostrar como se calcula a eficiência de um Rankine (fórmulas e interpretação física) e explicar que sem tabelas não dá para um número exato. Em seguida apresento um exemplo de procedimento para obter um valor numérico (mostrando todas as fórmulas que teria de usar), e dou uma estimativa típica para esse caso, deixando claro que é uma estimativa aproximada.

Passo 2

A ideia e fórmula do ciclo de Carnot — aula rápida e direta:
  • O ciclo de Carnot é o ciclo reversível ideal entre duas fontes térmicas; sua eficiência máxima depende só das temperaturas absolutas das fontes.
  • Fórmula da eficiência térmica do ciclo de Carnot:
\eta_{Carnot}=1-\frac{T_C}{T_H},
onde:
  • T_H é a temperatura absoluta (em kelvin) da fonte quente (caldeira);
  • T_C é a temperatura absoluta (em kelvin) da fonte fria (condensador).
  • Observação didática: é crucial converter as temperaturas em kelvin antes de usar a fórmula. Lembre: T(\mathrm{K})=T(^{\circ}\mathrm{C})+273{,}15.
Agora vamos converter as temperaturas fornecidas:
T_H = 285{,}8^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 558{,}95\\ \mathrm{K},
T_C = 45{,}8^\circ\mathrm{C} + 273{,}15 = 318{,}95\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Cálculo numérico da eficiência de Carnot passo a passo:
\eta_{Carnot}=1-\frac{T_C}{T_H}=1-\frac{318{,}95}{558{,}95}.
Calcule a fração:
\frac{318{,}95}{558{,}95}\approx 0{,}5706\quad(\text{aprox.}),
portanto
\eta_{Carnot}\approx 1-0{,}5706=0{,}4294.
Convertendo para porcentagem:
\eta_{Carnot}\approx 42{,}94\%.

Passo 4

Explicação didática: por que um ciclo de Rankine real (ou mesmo o ciclo Rankine ideal) terá eficiência menor que a eficiência de Carnot entre as mesmas temperaturas?
Vou listar e explicar as causas, passo a passo e de forma simples:
  1. Natureza do Carnot versus natureza do Rankine:
    • O ciclo de Carnot realiza transferência de calor com processos isotérmicos (calor é adicionado e rejeitado a temperaturas constantes). Isso é a condição para alcançar a eficiência máxima reversível entre duas temperaturas.
    • O ciclo Rankine (vapor-água típico) não adiciona calor exatamente a temperatura constante do reservatório quente: o calor na caldeira é transferido ao fluido em um processo que envolve aquecimento do líquido, vaporização (que ocorre praticamente à temperatura de saturação do fogo) e, se houver sobreaquecimento, aquecimento em vapor sobreaquecido. Ainda que a vaporização ocorra quase à temperatura de saturação, na prática a adição acontece através de trocadores com diferenças finitas de temperatura — isso causa irreversibilidades e menor eficiência.
  2. Irreversibilidades reais:
    • Turbina não é isentrópica: há perdas por atrito e fenômenos dissipativos, reduzindo o trabalho extraído.
    • Bombas e perdas na planta: trabalho de bomba e perdas por quedas de pressão (tubulações, trocadores).
    • Troca de calor com diferença finita de temperatura (∆T finito) nas superfícies de troca — isto gera produção de entropia.
    • Condensação com mistura líquida e gotículas que reduzem eficiência do processo.
  3. Consequência física simples:
    • Carnot pressupõe processos reversíveis; qualquer irreversibilidade no Rankine reduz a energia disponível para conversão em trabalho, portanto a eficiência real é sempre menor que a eficiência de Carnot entre as mesmas temperaturas.
  4. Além disso, para um Rankine “ideal” (isto é, com turbina e bomba isentrópicas), ainda assim normalmente a eficiência é menor que Carnot porque a adição de calor não ocorre exclusivamente à temperatura T_H; a adição de calor ocorre em uma faixa de temperatura e parte dela acontece a temperaturas menores que T_H, reduzindo a eficiência térmica em comparação ao Carnot.

Passo 5

Como calcular numericamente a eficiência de um ciclo Rankine (aula-prática — o que você teria de fazer na prova)
Para um Rankine simples (sem regeneração e sem reheat), os pontos e passos padrão são:
  • Estado 1: vapor na saída da caldeira (tipicamente vapor saturado ou vapor sobreaquecido) — entalpia h_1, entropia s_1.
  • Estado 2s: saída da turbina se a expansão fosse isentrópica até a pressão do condensador — entalpia h_{2s} (obtida impondo s_{2s}=s_1 e buscando propriedades na pressão do condensador).
  • Estado 2: saída real da turbina (se houver eficiência isentrópica \eta_t usa-se relação entre h_{2s} e h_2).
  • Estado 3: líquido saturado na saída do condensador — entalpia h_3 (próxima de h_f na pressão do condensador).
  • Estado 4: líquido comprimido após a bomba (entalpia h_4), ou calcular trabalho da bomba aproximadamente por:
w_{pump}\approx v_f\,(P_{boiler}-P_{cond}),
onde v_f é o volume específico do líquido (aprox. 0{,}001\\ \mathrm{m^3/kg} para água).
A eficiência térmica do Rankine (ideal) é:
\eta_{Rankine}=\frac{\text{trabalho líquido}}{\text{calor fornecido}}=\frac{(h_1-h_2)-w_{pump}}{h_1-h_3}.í
Onde:
  • h_1-h_2 é o trabalho extraído pela turbina por kg de vapor,
  • w_{pump} é o trabalho da bomba por kg,
  • h_1-h_3 é o calor acrescentado por kg no aquecedor/caldera.
Importante: para avaliar numericamente h_1,h_2,h_3 e s_1 precisa consultar tabelas de vapor d’água (ou um software/APP). Sem esses valores numéricos não se consegue um número exato para \eta_{Rankine}.

Passo 6

Aplicação prática e resposta ao pedido “Calcule” da parte (b):
  • Resultado qualitativo (já explicado): a eficiência real do Rankine será menor que \eta_{Carnot} por causa das irreversibilidades e porque o aquecimento no Rankine não ocorre de forma reversível (isotérmica) como no Carnot.
  • Observação sobre cálculo numérico: para um cálculo numérico exato da eficiência do ciclo Rankine entre 7\\ \text{MPa} e 10\\ \text{kPa} é preciso conhecer as propriedades termodinâmicas (entalpias e entropias) em:
    • vapor saturado (ou sobreaquecido) a 7\\ \text{MPa},
    • líquido saturado a 10\\ \text{kPa},
    • e usar a condição de expansão isentrópica (ou eficiência isentrópica da turbina, se indicado).
      O enunciado não forneceu essas entalpias/entropias nem encomendou assumir eficiências isentrópicas para turbina/pump. Por isso NÃO É POSSÍVEL fornecer um valor numérico exato e único para \eta_{Rankine} sem recorrer às tabelas de propriedades (ou sem assumir valores típicos de eficiência da turbina e sem usar dados de tabelas).
  • Procedimento prático que eu faria na prova (passos que você deve aplicar):
    1. Buscar nas tabelas termodinâmicas os valores à pressão de caldeira P_H=7\\ \text{MPa}: h_1 (entalpia do vapor saturado ou do vapor sobreaquecido, conforme o caso) e s_1.
    2. Buscar nas tabelas à pressão do condensador P_C=10\\ \text{kPa} os valores: h_f, s_f, h_g, s_g, etc.
    3. Calcular s_{2s}=s_1. Com s_{2s} e P_C determinar a qualidade x_2 e então h_{2s}=h_f+ x_2\,h_{fg}.
    4. Calcular w_{pump}\approx v_f (P_H-P_C).
    5. Calcular \eta_{Rankine} por \displaystyle \eta_{Rankine}=\frac{(h_1-h_{2s})-w_{pump}}{h_1-h_3} (ou, se usar eficiências isentrópicas da turbina, ajustar h_{2} a partir de h_{2s}).
    6. O resultado numérico obtido dessa forma deverá ser menor que \eta_{Carnot} (isso serve também como cheque de coerência).
  • Estimativa prática (valor típico):
    Se quiser um número orientador (apenas uma estimativa prática, não um cálculo exato), ciclos Rankine simples sem reheat e sem regeneração, operando com pressões de caldeira na faixa de alguns MPa e condensador a 10\\ \text{kPa}, costumam apresentar eficiências térmicas reais da ordem de 25% a 40% dependendo de superaquecimento, reheat, eficiências de turbina, etc. Para este caso concreto a eficiência máxima teórica (Carnot) é 42{,}94\%; portanto um Rankine ideal (sem perdas) pode estar um pouco abaixo disso, e um Rankine real (com perdas) frequentemente fica bem abaixo, tipicamente algo entre 30\% e 38\% para uma planta prática sem otimizações. Mas reforço: para um valor numérico exato é preciso usar as tabelas de vapor e seguir o procedimento descrito acima.

Resposta

a. \eta_{Carnot}\approx 0{,}4294 (ou 42{,}94\%).
b. A eficiência real de um ciclo Rankine será menor que \,42{,}94\% devido a irreversibilidades (expansão não isentrópica na turbina, perdas por atrito, diferenças finitas de temperatura na troca de calor, quedas de pressão, trabalho de bomba, condensação com gotículas etc.). Não é possível fornecer um valor numérico exato para \eta_{Rankine} sem consultar tabelas de propriedades do vapor (entalpias/entropias) ou fazer hipóteses adicionais sobre eficiência da turbina; o procedimento para calcular \eta_{Rankine} foi descrito acima e, como estimativa prática típica, tal ciclo real costuma apresentar algo entre aproximadamente 30\% e 38\% dependendo das condições reais da planta e do grau de superaquecimento/reheating/regeneração.

Exercícios relacionados