Um ciclo de Rankine simples usa água como fluido de trabalho. A caldeira funciona a 6.000 kPa , e o condensador a 50 kPa . Na entrada da turbina, a temperatura é de 450^{\circ} \mathrm{C}. e na saída o fluido se encontra em estado de vapor saturado. As perdas de pressão são desprezíveis e a água que sai do condensador é sub-resfriada em 6,33^{\circ} \mathrm{C}. A caldeira é dimensionada para uma vazão mássica de 20 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Determine (a) a taxa na qual calor é adicionado na caldeira, (b)a potência necessária para operar a bomba, (c) a potência líquida produzida pelo ciclo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente o que a questão fornece, para ficar claro o que precisamos usar):
  • Pressão da caldeira: p_{b}=6000\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão do condensador: p_{c}=50\\ \mathrm{kPa}.
  • Entrada da turbina: vapor superaquecido a 450^\circ\mathrm{C} e p_{b}=6000\\ \mathrm{kPa}.
  • Saída da turbina: vapor saturado (ou seja, vapor seco saturado) à pressão do condensador p_{c}=50\\ \mathrm{kPa}.
  • A água que sai do condensador está sub-resfriada em 6{,}33^\circ\mathrm{C} (ou seja, sua temperatura é T_{\text{sat}}(p_c)-6{,}33^\circ\mathrm{C}).
  • Vazão mássica: \dot{m}=20\\ \mathrm{kg/s}.
    O que a questão pede:
    (a) taxa de calor adicionada na caldeira (potência térmica fornecida) \dot{Q}_{\text{in}};
    (b) potência necessária para operar a bomba \dot{W}_{\text{bomba}};
    (c) potência líquida produzida pelo ciclo \dot{W}_{\text{líquida}}í.

Passo 2

Plano de resolução e as fórmulas que usaremos (sem ainda calcular):
  • Identificamos quatro estados típicos do ciclo Rankine:
    1. Saída do condensador (líquido sub-resfriado) a p_c.
    2. Saída da bomba (líquido comprimido) a p_b.
    3. Saída da caldeira / entrada da turbina (vapor superaquecido) a p_b,\,450^\circ\mathrm{C}.
    4. Saída da turbina (vapor saturado) a p_c.
  • Energia específica na entrada e saída de máquinas (por kg de fluido):
    • Trabalho específico da bomba (aproximação para líquido incompressível): w_{\text{bomba}} \approx v_f\,(p_b-p_c),onde v_f é o volume específico do líquido (m³/kg) no ponto 1; p em kPa e v em m³/kg dão w em kJ/kg (porque 1\\ \mathrm{kPa\cdot m^3/kg}=1\\ \mathrm{kJ/kg}).
    • Trabalho específico da turbina (assumindo turbina ideal e sem perdas): w_{\text{turb}} = h_3-h_4,onde h_3 é a entalpia específica do vapor superaquecido na entrada da turbina e h_4 é a entalpia do vapor saturado na pressão do condensador.
    • Calor específico adicionado na caldeira: q_{\text{in}} = h_3-h_2.
  • As potências (taxas) correspondentes multiplicam por \dot{m}: \dot{W}_{\text{bomba}}=\dot{m}\,w_{\text{bomba}},\qquad \dot{W}_{\text{turb}}=\dot{m}\,w_{\text{turb}},\qquad \dot{Q}_{\text{in}}=\dot{m}\,q_{\text{in}},e potência líquida \dot{W}_{\text{líquida}}=\dot{W}_{\text{turb}}-\dot{W}_{\text{bomba}}=\dot{m}\,(w_{\text{turb}}-w_{\text{bomba}}).í
  • Para obter os valores numéricos precisamos de entalpias e volume específico: usaremos tabelas de vapor (steam tables). Para o líquido comprimido sub-resfriado usarei a aproximação de que a variação de entalpia ao resfriar é \Delta h \approx c_p\,\Delta T com c_p da água líquida (aprox. 4{,}18\\ \mathrm{kJ/kg\cdot K}), porque a tabela de líquidos comprimidos costuma permitir essa aproximação com boa precisão.

Passo 3

Pegar valores nas tabelas de vapor e calcular a entalpia do líquido sub-resfriado na saída do condensador.
  • Da tabela de vapor (peguei estes valores nas steam tables):
    • Temperatura de saturação em p_c=50\\ \mathrm{kPa}: T_{\text{sat}}(50\\ \mathrm{kPa})=81{,}33^\circ\mathrm{C}.
    • Entalpia do líquido saturado em 50\\ \mathrm{kPa}: h_f(50\\ \mathrm{kPa})=340{,}54\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Entalpia do vapor saturado em 50\\ \mathrm{kPa}: h_g(50\\ \mathrm{kPa})=2733{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
    • Volume específico do líquido saturado em 50\\ \mathrm{kPa}: v_f(50\\ \mathrm{kPa})=0{,}001012\\ \mathrm{m^3/kg}.
    • Entalpia do vapor superaquecido na entrada da turbina (peguei em tabela de vapor superaquecido para p_b=6000\\ \mathrm{kPa} e T=450^\circ\mathrm{C}): h_3 = 3316{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • A saída do condensador é sub-resfriada por 6{,}33^\circ\mathrm{C}, então sua temperatura é T_1 = 81{,}33 - 6{,}33 = 75{,}00^\circ\mathrm{C}.
  • Aproximação da entalpia no ponto 1 (líquido sub-resfriado): usar h_1 \approx h_f(81{,}33^\circ\mathrm{C}) - c_p\,\Delta T com c_p da água líquida =4{,}18\\ \mathrm{kJ/kg\cdot K} e \Delta T=6{,}33\\ \mathrm{K}: h_1 \approx 340{,}54 - 4{,}18\cdot 6{,}33 = 340{,}54 - 26{,}4594 = 314{,}08\\ \mathrm{kJ/kg}.(Arredondei para h_1=314{,}08\\ \mathrm{kJ/kg}.)

Passo 4

Calcular o trabalho específico da bomba e a entalpia após a bomba.
  • Fórmula do trabalho da bomba (aproximação líquido incompressível): w_{\text{bomba}} = v_f\,(p_b-p_c).Substituindo v_f=0{,}001012\\ \mathrm{m^3/kg}, p_b=6000\\ \mathrm{kPa}, p_c=50\\ \mathrm{kPa}: w_{\text{bomba}} = 0{,}001012\cdot(6000-50)=0{,}001012\cdot 5950 = 6{,}0224\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Entalpia após a bomba (ponto 2): h_2 = h_1 + w_{\text{bomba}} = 314{,}08 + 6{,}0224 = 320{,}10\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 5

Calcular o trabalho específico da turbina.
  • Como a saída da turbina é vapor saturado à pressão do condensador, h_4=h_g(50\\ \mathrm{kPa})=2733{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Trabalho específico da turbina: w_{\text{turb}} = h_3-h_4 = 3316{,}0 - 2733{,}6 = 582{,}4\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Calcular o calor específico adicionado na caldeira.
  • Fórmula: q_{\text{in}} = h_3-h_2 = 3316{,}0 - 320{,}10 = 2995{,}90\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 7

Converter para taxas (potências) multiplicando por \dot{m}=20\\ \mathrm{kg/s}.
  • Taxa de calor adicionada na caldeira: \dot{Q}_{\text{in}}=\dot{m}\,q_{\text{in}} = 20\cdot 2995{,}90 = 59\,917{,}9\\ \mathrm{kW}\approx 59{,}92\\ \mathrm{MW}.
  • Potência para operar a bomba: \dot{W}_{\text{bomba}}=\dot{m}\,w_{\text{bomba}} = 20\cdot 6{,}0224 = 120{,}45\\ \mathrm{kW}\approx 0{,}1204\\ \mathrm{MW}.
  • Potência gerada pela turbina: \dot{W}_{\text{turb}}=\dot{m}\,w_{\text{turb}} = 20\cdot 582{,}4 = 11\,648{,}0\\ \mathrm{kW}\approx 11{,}65\\ \mathrm{MW}.
  • Potência líquida do ciclo: \dot{W}_{\text{líquida}}=\dot{W}_{\text{turb}}-\dot{W}_{\text{bomba}} = 11\,648{,}0 - 120{,}45 = 11\,527{,}6\\ \mathrm{kW}\approx 11{,}53\\ \mathrm{MW}.í

Passo 8

Comentário final de verificação e didática rápida (motivação para a prova):
  • A parte que costuma confundir é a entalpia do líquido sub-resfriado; por isso calculei h_1 subtraindo c_p\Delta T de h_f na temperatura de saturação — isso é uma aproximação muito usada na prova para líquidos comprimidos quando a sub-resfriamento é pequeno.
  • A contribuição da bomba é pequena (algumas dezenas ou centenas de kW) comparada com a potência da turbina (vários MW); por isso é normal que \dot{W}_{\text{bomba}} pareça “irrisória” perto da \dot{W}_{\text{turb}}.
  • Se precisar, dá pra refinar usando valores exatos de h para líquido comprimido nas tabelas; isso só mudaria levemente os resultados.
  • Se na prova pedirem eficiência térmica do ciclo, basta calcular \eta = \frac{\dot{W}_{\text{líquida}}}{\dot{Q}_{\text{in}}}.í

Resposta

(a) \dot{Q}_{\text{in}}=59{,}917{,}9\\ \mathrm{kW}\approx 59{,}92\\ \mathrm{MW}
(b) \dot{W}_{\text{bomba}}=120{,}45\\ \mathrm{kW}\approx 0{,}1204\\ \mathrm{MW}
(c) \dot{W}_{\text{líquida}}=11\,527{,}6\\ \mathrm{kW}\approx 11{,}53\\ \mathrm{MW}í

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