Refrigerante-134a a 800 kPa e 130^{\circ} \mathrm{C} entra em um bocal adiabático com velocidade de 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e sai a 400 kPa e 30^{\circ} \mathrm{C}. Determine (a) a velocidade na saída \mathrm{e}(\mathrm{b}) a razão entre a área de entrada e a área de saída \mathrm{A}_{1} / \mathrm{A}_{2}.

Passo 1

Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Pressão na entrada: p_1 = 800\\ \text{kPa}.
  • Temperatura na entrada: T_1 = 130^{\circ}\mathrm{C}.
  • Velocidade na entrada: V_1 = 20\\ \mathrm{m/s}.
  • Pressão na saída: p_2 = 400\\ \text{kPa}.
  • Temperatura na saída: T_2 = 30^{\circ}\mathrm{C}.
O enunciado pede:
(a) a velocidade na saída V_2;
(b) a razão entre áreas A_1/A_2.
Observações imediatas (coisas que vamos usar mais adiante): os estados dados estão em pressões e temperaturas que indicam vapor sobreaquecido; o bocal é adiabático (sem troca de calor) e não há menção a trabalho nem a variação de energia potencial, portanto usaremos a equação de energia para escoamento permanente e a equação de continuidade de massa.

Passo 2

Equação de energia (nozzle adiabático, escoamento estacionário, sem trabalho e sem variação de altura):
h_1+\frac{V_1^2}{2}=h_2+\frac{V_2^2}{2},
onde:
  • h é a entalpia específica (J/kg),
  • V é a velocidade (m/s).
Isolando V_2:
V_2=\sqrt{V_1^2+2\bigl(h_1-h_2\bigr)}.
Explicando devagar: a entalpia representa a energia interna mais a energia de fluxo por unidade de massa; num bocal adiabático sem trabalho essa energia pode converter-se em energia cinética. Para calcular V_2 precisamos, portanto, da diferença de entalpia h_1-h_2.

Passo 3

Como obter h_1-h_2. O jeito correto é pegar tabelas/softwares do refrigerante R-134a porque entalpia depende de pressão e temperatura reais. Se essas tabelas não estão disponíveis (como aqui), uma aproximação razoável para vapor sobreaquecido é:
h_1-h_2 \approx c_p\,(T_1-T_2),
onde c_p é o calor específico a pressão constante do vapor (assumido aproximadamente constante no intervalo). Esta é uma aproximação do tipo gás perfeito para cálculo da variação de entalpia com temperatura.
Vou adotar um valor típico para R-134a vapor sobreaquecido: c_p \approx 0{,}90\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = 900\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. (Se tiver tabela do refrigerante, substitua por h_1 e h_2 reais: isto melhora a resposta.)
Calcule a diferença de temperatura em kelvin: T_1-T_2 = 130-30 = 100\\ \mathrm{K}.
Portanto:
h_1-h_2 \approx 900\cdot100 = 90000\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 4

Calcular V_2 usando a fórmula do Passo 2:
V_2=\sqrt{V_1^2+2(h_1-h_2)}=\sqrt{20^2+2\cdot90000}=\sqrt{400+180000}=\sqrt{180400}.
V_2\approx 424{,}8\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação rápida: a grande queda de entalpia (convertida em energia cinética) gera uma velocidade de saída muito maior que a entrada — é normal em bocais que expandem vapor quente.

Passo 5

Agora a razão de áreas. Para escoamento estacionário a equação da continuidade de massa vale:
\dot{m}=\rho_1 A_1 V_1=\rho_2 A_2 V_2,
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\frac{A_1}{A_2}=\frac{\rho_2 V_2}{\rho_1 V_1}.
Para obter as densidades \rho_1 e \rho_2 vou usar a aproximação do gás ideal (válida para vapor sobreaquecido em primeira aproximação):
\rho=\frac{p}{R T},
onde p em Pa, T em K e R é a constante específica do gás.

Passo 6

Constante específica do R-134a: calcular a partir da massa molar. A massa molar do R-134a é aproximadamente M=0{,}10203\\ \mathrm{kg/mol}. Assim
R=\frac{R_u}{M}=\frac{8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}}{0{,}10203\\ \mathrm{kg/mol}}\approx 81{,}46\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Converter temperaturas para K:
T_1=130^{\circ}\mathrm{C}=403{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_2=30^{\circ}\mathrm{C}=303{,}15\\ \mathrm{K}.
Converter pressões para Pa:
p_1=800\\ \text{kPa}=800000\\ \mathrm{Pa},\qquad p_2=400\\ \text{kPa}=400000\\ \mathrm{Pa}.
Calcular densidades:
\rho_1=\frac{p_1}{R T_1}=\frac{800000}{81{,}46\cdot403{,}15}\approx 24{,}36\\ \mathrm{kg/m^3},
\rho_2=\frac{p_2}{R T_2}=\frac{400000}{81{,}46\cdot303{,}15}\approx 16{,}19\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 7

Calcular a razão de áreas:
\frac{A_1}{A_2}=\frac{\rho_2 V_2}{\rho_1 V_1}=\frac{16{,}19\cdot 424{,}8}{24{,}36\cdot 20}\approx 14{,}12.
Ou seja, a área de entrada é cerca de 14 vezes a área de saída (o bocal contrai muito para acelerar o fluxo).

Passo 8

  • O procedimento correto em situações reais é consultar tabelas/softwares do refrigerante para obter h_1 e h_2 e também as densidades reais (ou o fator Z) porque R-134a não é perfeitamente ideal em todas as condições. Aqui usei duas aproximações: (i) variação de entalpia via c_p\Delta T com c_p\approx0{,}90\\ \mathrm{kJ/(kgK)}, (ii) gás ideal para densidades. Essas aproximações dão uma boa ordem de grandeza e são suficientes em muitos exercícios de prova; se tiver tabela, substituir melhora a precisão.
  • Sensibilidade: se em vez de c_p=0{,}90\\ \mathrm{kJ/(kgK)} usar c_p=1{,}00\\ \mathrm{kJ/(kgK)}, obtém-se V_2\approx 448\\ \mathrm{m/s} e A_1/A_2\approx 14{,}9. Assim resultado é da ordem de 4\cdot10^2\\ \mathrm{m/s} para V_2 e A_1/A_2\sim 14\text{–}15.
Força: você tá indo bem — esse tipo de problema junta energia e continuidade; a ideia-chave é transformar entalpia (calor interno/fluxo) em velocidade. Se der tempo na prova, anote as hipóteses (adiabático, sem trabalho, sem variação de altura, vapor sobreaquecido, aproximação gás ideal) para justificar o procedimento.

Resposta

V_2\approx 425\\ \mathrm{m/s}
\dfrac{A_1}{A_2}\approx 14{,}12

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