Uma barra de aço com 1,2 \mathrm{~cm} de diâmetro e 30 cm de comprimento é tracionada numa máquina de ensaio. Quanto trabalho é necessário para produzir uma deformação de 0,1 \% ? O módulo de elasticidade do aço é 2,1 \times 10^{6} \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}.

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado.
  • Pedido: calcular o trabalho (energia elástica armazenada) necessário para produzir uma deformação de 0,1\% numa barra de aço retraída (tracionada).
  • Dados (pegos do enunciado):
    • diâmetro da barra: d=1,2\\ \mathrm{cm},
    • comprimento da barra: L=30\\ \mathrm{cm},
    • deformação (strain): \varepsilon=0,1\%=0,001,
    • módulo de elasticidade (módulo de Young): E=2,1\times10^{6}\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática curta e direta).
  • Deformação (strain) \varepsilon é a variação relativa do comprimento: \varepsilon=\Delta L/L. É adimensional.
  • Tensão (stress) \sigma é a força por unidade de área aplicada na seção: \sigma = F/A, com unidades \mathrm{kgf/cm^{2}} aqui.
  • Para material elástico linear (como neste caso, dentro do limite elástico), vale a lei de Hooke:
\sigma = E\,\varepsilon,
onde E é o módulo de Young. Isso significa que a tensão cresce linearmente com a deformação.
  • Energia elástica (trabalho) por unidade de volume armazenada num material linear elástico ao deformá-lo até \varepsilon é a área sob a curva tensão vs. deformação:
u=\int_{0}^{\varepsilon}\sigma(\varepsilon')\,d\varepsilon'=\int_{0}^{\varepsilon}E\varepsilon'\,d\varepsilon'=\tfrac{1}{2}E\varepsilon^{2}.
Aqui u tem unidades de \mathrm{kgf/cm^{2}} vezes (adimensional) = \mathrm{kgf/cm^{2}}, que, multiplicado pelo volume ( \mathrm{cm^{3}}), dá trabalho em \mathrm{kgf\cdot cm}.
  • Trabalho total U é energia por unidade de volume vezes o volume V=A\cdot L:
U = u\cdot V = \tfrac{1}{2}E\varepsilon^{2}\,A\,L.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal A.
  • O raio é r=\dfrac{d}{2}= \dfrac{1,2}{2}=0,6\\ \mathrm{cm}.
  • A área é a área do círculo:
A=\pi r^{2}=\pi(0,6)^{2}=0,36\pi\\ \mathrm{cm^{2}}.
  • Volume da barra:
V=A\cdot L=(0,36\pi)\cdot 30=10,8\pi\\ \mathrm{cm^{3}}.
  • Valor numérico aproximado de V:
V\approx 10,8\cdot 3,1416 \approx 33,93\\ \mathrm{cm^{3}}.

Passo 4

Calcular a energia por unidade de volume u=\tfrac{1}{2}E\varepsilon^{2} numericamente.
  • Primeiro calcular \varepsilon^{2}:
\varepsilon^{2}=(0,001)^{2}=1{,}0\times10^{-6}.
  • Então
E\varepsilon^{2}=(2,1\times10^{6})\times(1{,}0\times10^{-6})=2{,}1\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
  • Logo
u=\tfrac{1}{2}E\varepsilon^{2}=\tfrac{1}{2}\times2{,}1=1{,}05\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.

Passo 5

Calcular o trabalho total U=u\cdot V.
  • Usando os valores obtidos:
U = 1{,}05\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}\times 33{,}93\\ \mathrm{cm^{3}}\approx 35{,}63\\ \mathrm{kgf\cdot cm}.
(Se preferir manter a forma exata com \pi: U=\tfrac{1}{2}E\varepsilon^{2}\cdot(10{,}8\pi)=1{,}05\cdot10{,}8\pi\approx 35{,}625\\ \mathrm{kgf\cdot cm}.)

Passo 6

Converter o resultado para unidades do SI (joules). Explicando a conversão:
  • 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}80665\\ \mathrm{N}.
  • 1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}.
  • Portanto 1\\ \mathrm{kgf\cdot cm}=9{,}80665\times0,01=0{,}0980665\\ \mathrm{J}.
  • Converter:
U\approx 35{,}63\\ \mathrm{kgf\cdot cm}\times 0{,}0980665\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kgf\cdot cm}}\approx 3{,}49\\ \mathrm{J}.

Resposta

U \approx 35{,}63\\ \mathrm{kgf\cdot cm}
U \approx 3{,}49\\ \mathrm{J}

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