3 Um cilindro horizontal, fechado em uma extremidade, é equipado com um pistão móvel. Originalmente, o cilindro contém 1,2 \mathrm{ft}^{3} de gás na pressão de 7,3 atm. Se a pressão contra a face do pistão for reduzida muito lentamente até 1 atm, calcule o trabalho realizado pelo gás sobre o pistão considerando que a seguinte relação é aplicável ao gás: \mathrm{pV}^{1,3}= constante .

Passo 1

O enunciado descreve um processo politrópico de um gás confinado num cilindro com pistão: inicialmente temos V_{1}=1,2, \mathrm{ft}^3 e p_{1}=7{,}3, \mathrm{atm}. A pressão externa é reduzida lentamente até p_{2}=1, \mathrm{atm}, e o gás obedece à lei
p\,V^{1,3}=\text{constante}.
Precisamos calcular o trabalho realizado pelo gás sobre o pistão, isto é
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}p\,dV.

Passo 2

Em um processo politrópico com expoente n\neq1, tem-se
p\,V^{n}=K \quad\Longrightarrow\quad p=K\,V^{-n},
e assim
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}}K\,V^{-n}\,dV =K\int_{V_{1}}^{V_{2}}V^{-n}\,dV =\frac{K}{1-n}\Bigl(V_{2}^{\,1-n}-V_{1}^{\,1-n}\Bigr).

Passo 3

Para achar V_{2}, usamos a condição politrópica entre os estados 1 e 2:
p_{1}V_{1}^{n}=p_{2}V_{2}^{n} \quad\Longrightarrow\quad V_{2} =V_{1}\Bigl(\frac{p_{1}}{p_{2}}\Bigr)^{\!1/n}.
Substituindo n=1{,}3, p_{1}/p_{2}=7{,}3, V_{1}=1{,}2,
V_{2} =1{,}2\;\bigl(7{,}3\bigr)^{1/1{,}3} \approx1{,}2\times4{,}61 =5{,}53\\ \mathrm{ft}^3.

Passo 4

O valor de K vem de
K=p_{1}V_{1}^{n} =7{,}3\times(1{,}2)^{1{,}3} \approx7{,}3\times1{,}267 =9{,}25\quad(\mathrm{atm}\cdot\mathrm{ft}^{3n}).

Passo 5

Agora calculamos
W =\frac{K}{1-n}\Bigl(V_{2}^{\,1-n}-V_{1}^{\,1-n}\Bigr) =\frac{9{,}25}{1-1{,}3}\Bigl(5{,}53^{-0,3}-1{,}2^{-0,3}\Bigr).
Como 1-1{,}3=-0{,}3, e
5{,}53^{-0,3}\approx0{,}598,\quad 1{,}2^{-0,3}\approx0{,}947,
temos
W =\frac{9{,}25}{-0{,}3}\,(0{,}598-0{,}947) \approx-30{,}83\times(-0{,}349) =10{,}76\\ \mathrm{atm}\cdot\mathrm{ft}^3.

Passo 6

Para converter 10{,}76, \mathrm{atm}\cdot\mathrm{ft}^3 em foot-pound, note que
1\\ \mathrm{atm}=14{,}7\\ \mathrm{lbf/in}^2 =14{,}7\times144\\ \mathrm{lbf/ft}^2 =2116{,}8\\ \mathrm{lbf/ft}^2,
então
1\\ \mathrm{atm}\cdot\mathrm{ft}^3 =2116{,}8\\ \mathrm{lbf}\cdot\mathrm{ft}.
Logo
W =10{,}76\times2116{,}8 \approx2,28\times10^{4}\\ \mathrm{ft}\!\cdot\!\mathrm{lbf}.

Resposta

O trabalho realizado pelo gás sobre o pistão é aproximadamente
W=2,28\times10^{4}\\ \mathrm{ft}\!\cdot\!\mathrm{lbf}.

Exercícios relacionados