4 Um moinho de vento converte a energia cinética do ar em movimento em energia elétrica com uma eficiência de 30 \%, dependendo do projeto do moinho e da velocidade do vento. Estime a potência em kW para um vento soprando perpendicularmente a um moinho com hélices de 15 m de diâmetro, sendo a velocidade do vento de 20 \mathrm{mi} / \mathrm{h} a 27^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm .

Passo 1

O enunciado pede uma estimativa da potência elétrica gerada por um moinho de vento, sabendo que ele converte com eficiência de 30\% a energia cinética do ar que atravessa a área varrida pelas hélices. Para resolver precisamos:
– A massa específica \rho do ar a 27^\circ\mathrm{C} e 1\;\mathrm{atm} (usar a equação dos gases ideais).
– A área de varredura A de hélices de diâmetro 15\;\mathrm{m}.
– Converter a velocidade do vento de 20\;\mathrm{mi/h} para \mathrm{m/s}.
– Aplicar a fórmula da potência disponível no vento
P_\text{disponível} = \tfrac12\,\rho\,A\,v^3í
e depois multiplicar pela eficiência de 30\%.

Passo 2

Calcular a densidade do ar usando a equação dos gases ideais
\rho = \frac{p\,M}{R\,T}.
Tomando \,p=1{,}01325\times10^5\;\mathrm{Pa}, M=0{,}029\;\mathrm{kg/mol}, R=8{,}314\;\mathrm{J/(mol\cdot K)}, T=27^\circ\mathrm{C}=300\;\mathrm{K},
temos
\rho = \frac{1{,}01325\times10^5 \times 0{,}029}{8{,}314 \times 300}\approx 1{,}18\;\mathrm{kg/m^3}.

Passo 3

Calcular a área de varredura das hélices de diâmetro 15\;\mathrm{m}:
A = \pi\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^2 = \pi\bigl(7{,}5\;\mathrm{m}\bigr)^2 \approx 176{,}7\;\mathrm{m^2}.

Passo 4

Converter 20\;\mathrm{mi/h} para \mathrm{m/s}:
1\;\mathrm{mi}=1609{,}34\;\mathrm{m},\quad 20\;\mathrm{mi/h} = \frac{20\times1609{,}34}{3600} \approx 8{,}94\;\mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a potência disponível no vento e depois a potência útil:
P_\text{disponível} = \tfrac12 \,\rho\,A\,v^3 = \tfrac12 \times 1{,}18 \times 176{,}7 \times (8{,}94)^3 \approx 74{,}4\times10^3\;\mathrm{W}.í
Com eficiência de 30\%, a potência elétrica é
P = 0{,}30 \times 74{,}4\times10^3\;\mathrm{W} \approx 22{,}3\times10^3\;\mathrm{W}.

Resposta

A potência estimada é aproximadamente 22\;\mathrm{kW}.

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