Um cilindro-pistão contém
de ar à 150 kPa e
ar é comprimido łave via um processo politrópico
até atingir uma condição de 400 kPa e
. Determine (4,0 Pontos):
a. A massa de ar, admitindo a hipótese de gás ideal;
b. O volume final do sistema;
c. O expoente " n " do processo politrópico;
d. As transferências de energia por calor e trabalho no processo.
a. A massa de ar, admitindo a hipótese de gás ideal;
b. O volume final do sistema;
c. O expoente " n " do processo politrópico;
d. As transferências de energia por calor e trabalho no processo.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados iniciais e finais (convertendo unidades quando necessário):
- Volume inicial:
. - Pressão inicial:
. - Temperatura inicial:
. - Pressão final:
. - Temperatura final:
.
O que é pedido:
(a) a massa de ar, assumindo gás ideal;
(b) o volume final ;
(c) o expoente politrópico do processo
constante;
(d) as transferências de energia por calor e por trabalho
durante o processo (sinal convencional:
se entra calor no sistema;
se o sistema realiza trabalho).
(a) a massa de ar, assumindo gás ideal;
(b) o volume final
(c) o expoente politrópico
(d) as transferências de energia por calor
Constantes e hipóteses que usarei:
- Gás ideal:
. - Constante dos gases para o ar seco:
. - Para energia interna usarei capacidade térmica a volume constante aproximada do ar perfeito:
(logo ).
Passo 2
Cálculo da massa
usando a equação do gás ideal. Fórmula e significado:
onde
é a pressão absoluta (Pa),
o volume (m
),
a massa (kg),
a constante específica do gás (J/(kg·K)) e
a temperatura absoluta (K).
Isolando
:
Substituindo os valores (tudo em SI):
Faço as contas passo a passo:
Portanto
Interpretação curta: o cilindro contém aproximadamente
de ar.
Passo 3
Cálculo do volume final
usando novamente o gás ideal (agora com
e
):
Substituindo os valores já conhecidos:
Como
,
Resultado: o volume final é aproximadamente
.
Passo 4
Determinação do expoente politrópico
. Para um processo politrópico válido entre os estados 1 e 2 vale
Isolando
(tomando logaritmos):
Substituindo os valores numéricos:
Logo
Verificação (opcional didático): para gás ideal também se deduz
constante, que daria a mesma resposta via
. Fazendo isso obtém-se o mesmo
dentro do erro de arredondamento.
Interpretação: o processo tem expoente politrópico
(entre isotérmico
e adiabático
).
Passo 5
Cálculo do trabalho
realizado pelo sistema durante o processo politrópico. Para um processo
constante e
,
Aqui
é o trabalho realizado pelo sistema (convencionalmente,
se o sistema realiza trabalho sobre o entorno).
Calcule
e
(já usados antes):
Agora o trabalho:
Interpretação do sinal:
significa que o sistema recebeu trabalho (ou seja, o trabalho foi feito sobre o gás) — isto faz sentido porque o processo é de compressão.
Passo 6
Cálculo da variação de energia interna
. Para um gás ideal a variação de energia interna depende apenas da temperatura:
onde
é a capacidade calorífica a volume constante do ar.
Usando
,
e
:
Sinal positivo: a energia interna aumentou porque a temperatura subiu.
Passo 7
Aplicando a primeira lei da termodinâmica para sistema fechado (energia interna):
Substituindo os valores (usar as mesmas unidades, J):
Interpretação:
indica que houve perda de calor do sistema para o entorno (ou seja, calor foi rejeitado).
Passo 8
Resumo físico e checagens rápidas:
- A massa encontrada faz sentido com os dados (ordem de
kg para 0,5 m a pressões próximas de Pa). - O volume final menor que o inicial confirma compressão.
- O expoente
entre e indica processo politrópico com transferência de calor e compressão (não é adiabático estrito). - Sinais:
(trabalho recebido pelo gás), (temperatura aumenta) e (calor saiu do gás) — tudo consistente fisicamente.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) (trabalho realizado pelo sistema; sinal negativo significa trabalho realizado sobre o gás)
(calor rejeitado pelo sistema)
(b)
(c)
(d)