Um cilindro-pistão contém 0,5 \mathrm{~m}^{3} de ar à 150 kPa e 200^{\circ} \mathrm{C} . \mathrm{O} ar é comprimido łave via um processo politrópico \left(P V^{n}=c t e\right) até atingir uma condição de 400 kPa e 300{ }^{\circ} \mathrm{C}. Determine (4,0 Pontos):
a. A massa de ar, admitindo a hipótese de gás ideal;
b. O volume final do sistema;
c. O expoente " n " do processo politrópico;
d. As transferências de energia por calor e trabalho no processo.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados iniciais e finais (convertendo unidades quando necessário):
  • Volume inicial: V_1 = 0,5\\ \mathrm{m}^3.
  • Pressão inicial: P_1 = 150\\ \mathrm{kPa} = 150\,000\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura inicial: T_1 = 200^\circ\mathrm{C} = 200 + 273{,}15 = 473{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão final: P_2 = 400\\ \mathrm{kPa} = 400\,000\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura final: T_2 = 300^\circ\mathrm{C} = 300 + 273{,}15 = 573{,}15\\ \mathrm{K}.
O que é pedido:
(a) a massa de ar, assumindo gás ideal;
(b) o volume final V_2;
(c) o expoente politrópico n do processo P V^{n}= constante;
(d) as transferências de energia por calor Q e por trabalho W durante o processo (sinal convencional: Q>0 se entra calor no sistema; W>0 se o sistema realiza trabalho).
Constantes e hipóteses que usarei:
  • Gás ideal: P V = m R T.
  • Constante dos gases para o ar seco: R = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Para energia interna usarei capacidade térmica a volume constante aproximada do ar perfeito: c_v \approx 718\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} (logo c_p \approx 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}).

Passo 2

Cálculo da massa m usando a equação do gás ideal. Fórmula e significado:
P V = m R T,
onde P é a pressão absoluta (Pa), V o volume (m ^3), m a massa (kg), R a constante específica do gás (J/(kg·K)) e T a temperatura absoluta (K).
Isolando m:
m = \dfrac{P_1 V_1}{R T_1}.
Substituindo os valores (tudo em SI):
m = \dfrac{150\,000\cdot 0,5}{287\cdot 473{,}15}.
Faço as contas passo a passo:
P_1 V_1 = 150\,000\cdot 0,5 = 75\,000\\ \mathrm{J},
R T_1 = 287\cdot 473{,}15 \approx 135\,794{,}05\\ \mathrm{J/(kg)}.
Portanto
m \approx \dfrac{75\,000}{135\,794{,}05}\approx 0{,}5522\\ \mathrm{kg}.
Interpretação curta: o cilindro contém aproximadamente 0{,}5522\\ \mathrm{kg} de ar.

Passo 3

Cálculo do volume final V_2 usando novamente o gás ideal (agora com P_2 e T_2):
V_2 = \dfrac{m R T_2}{P_2}.
Substituindo os valores já conhecidos:
mR = 0{,}5522\cdot 287 \approx 158{,}48\\ \mathrm{J/K},
m R T_2 \approx 158{,}48\cdot 573{,}15 \approx 90\,833{,}6\\ \mathrm{J}.
Como P_2 = 400\,000\\ \mathrm{Pa},
V_2 \approx \dfrac{90\,833{,}6}{400\,000} \approx 0{,}2271\\ \mathrm{m}^3.
Resultado: o volume final é aproximadamente V_2 \approx 0{,}2271\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

Determinação do expoente politrópico n. Para um processo politrópico válido entre os estados 1 e 2 vale
P_1 V_1^{n} = P_2 V_2^{n}.
Isolando n (tomando logaritmos):
n = \dfrac{\ln\!\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)}{\ln\!\left(\dfrac{V_1}{V_2}\right)}.
Substituindo os valores numéricos:
\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{400}{150}=\dfrac{8}{3}\approx 2{,}6667, \qquad \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{0{,}5}{0{,}2271}\approx 2{,}201.
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n \approx \dfrac{\ln(2{,}6667)}{\ln(2{,}201)} \approx \dfrac{0{,}980829}{0{,}788445}\approx 1{,}244.
Verificação (opcional didático): para gás ideal também se deduz T V^{\,n-1}= constante, que daria a mesma resposta via \;n=1+\dfrac{\ln(T_1/T_2)}{\ln(V_2/V_1)}. Fazendo isso obtém-se o mesmo n dentro do erro de arredondamento.
Interpretação: o processo tem expoente politrópico n\approx 1{,}244 (entre isotérmico n=1 e adiabático n\approx 1{,}4).

Passo 5

Cálculo do trabalho W realizado pelo sistema durante o processo politrópico. Para um processo P V^{n}= constante e n\neq 1,
W = \int_{V_1}^{V_2} P\,dV = \dfrac{P_2 V_2 - P_1 V_1}{1 - n}.
Aqui W é o trabalho realizado pelo sistema (convencionalmente, W>0 se o sistema realiza trabalho sobre o entorno).
Calcule P_1 V_1 e P_2 V_2 (já usados antes):
P_1 V_1 = 150\,000\cdot 0{,}5 = 75\,000\\ \mathrm{J},
P_2 V_2 \approx 400\,000\cdot 0{,}2271 \approx 90\,833{,}6\\ \mathrm{J}.
Agora o trabalho:
W \approx \dfrac{90\,833{,}6 - 75\,000}{1 - 1{,}244} = \dfrac{15\,833{,}6}{-0{,}244}\approx -64\,8\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação do sinal: W<0 significa que o sistema recebeu trabalho (ou seja, o trabalho foi feito sobre o gás) — isto faz sentido porque o processo é de compressão.

Passo 6

Cálculo da variação de energia interna \Delta U. Para um gás ideal a variação de energia interna depende apenas da temperatura:
\Delta U = m c_v (T_2 - T_1),
onde c_v é a capacidade calorífica a volume constante do ar.
Usando c_v \approx 718\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, m=0{,}5522\\ \mathrm{kg} e \Delta T = T_2-T_1 = 100\\ \mathrm{K}:
\Delta U \approx 0{,}5522\cdot 718\cdot 100 \approx 39\,6\\ \mathrm{kJ}.
Sinal positivo: a energia interna aumentou porque a temperatura subiu.

Passo 7

Aplicando a primeira lei da termodinâmica para sistema fechado (energia interna):
\Delta U = Q - W \quad\Longrightarrow\quad Q = \Delta U + W.
Substituindo os valores (usar as mesmas unidades, J):
\Delta U \approx +39\,642\\ \mathrm{J},\qquad W \approx -64\,800\\ \mathrm{J},
Q \approx 39\,642 + (-64\,800) \approx -25\,158\\ \mathrm{J} \approx -25{,}2\\ \mathrm{kJ}.
Interpretação: Q<0 indica que houve perda de calor do sistema para o entorno (ou seja, calor foi rejeitado).

Passo 8

Resumo físico e checagens rápidas:
  • A massa encontrada faz sentido com os dados (ordem de 10^{-1} kg para 0,5 m ^3 a pressões próximas de 10^5 Pa).
  • O volume final menor que o inicial confirma compressão.
  • O expoente n entre 1 e \gamma indica processo politrópico com transferência de calor e compressão (não é adiabático estrito).
  • Sinais: W<0 (trabalho recebido pelo gás), \Delta U>0 (temperatura aumenta) e Q<0 (calor saiu do gás) — tudo consistente fisicamente.

Resposta

(a) m \approx 0{,}5522\\ \mathrm{kg}
(b) V_2 \approx 0{,}2271\\ \mathrm{m}^3
(c) n \approx 1{,}244
(d) W \approx -64{,}8\\ \mathrm{kJ} (trabalho realizado pelo sistema; sinal negativo significa trabalho realizado sobre o gás)
\quad\; Q \approx -25{,}2\\ \mathrm{kJ} (calor rejeitado pelo sistema)

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