Um cilindro com pistão móvel contém 51 de um gás a 50 oC e 4 atm . O pistão é movimentado vagarosamente, comprimindo o gás a 7 atm .
a) Considerando o gás no cilindro como sendo o sistema, escreva a equação de balanço de energia e simplifique desprezando os termos necessários.
b) Supondo o processo isotérmico e que o trabalho de compressão realizado sobre o gás seja igual a 91.atm, calcule a quantidade de calor (em joules) trocado com as vizinhanças.
c) Supondo que o processo se desenvolva adiabáticamente e que energia interna molar aumente com a temperatura, pergunta-se: a temperatura final será maior igual o menor que 50^{\circ} \mathrm{C} ? justifique.

Passo 1

Vou resumir e organizar exatamente o que o enunciado dá e o que pede, item por item, para ninguém se perder no meio do nervosismo.
Dados fornecidos (copiando e convertendo símbolos para formato matemático):
\text{O cilindro contém }5\text{ L (?) de gás a }50^\circ\mathrm{C}\text{ e }4\\ \mathrm{atm.}éá
\text{O pistão comprime vagarosamente o gás até }7\\ \mathrm{atm.}ãáé
\text{Em (b) é dado: trabalho de compressão realizado sobre o gás }=91\\ \text{(unidade escrita ``atm'').}éãá
Pedidos:
a) Escrever a equação de balanço de energia para o sistema (o gás) e simplificá‑la desprezando termos adequados (por ex. energia cinética/potencial etc.).
b) Supondo processo isotérmico e que o trabalho de compressão sobre o gás é 91 (unidade dada no enunciado), calcular a quantidade de calor trocado com as vizinhanças, em joules.
c) Supondo processo adiabático e sabendo que a energia interna molar aumenta com a temperatura, decidir se a temperatura final é maior, igual ou menor que 50^\circ\mathrm{C} e justificar.
Observações sobre os dados: o enunciado escreveu o volume/informação inicial e a unidade do trabalho de forma um pouco ambígua (por exemplo “51” e “91.atm”). Vou proceder assumindo a leitura mais comum em problemas deste tipo: o número próximo de “51” refere‑se provavelmente a 5\\ \mathrm{L} ou algo similar, e a unidade do trabalho dada como “atm” costuma significar trabalho em \mathrm{L\cdot atm}. Para converter para joules usarei a relação conhecida
1\\ \mathrm{L\cdot atm}=101{,}325\\ \mathrm{J}.
Se você tivesse outra interpretação daqueles números, me avise depois; aqui vou seguir essa interpretação para poder resolver (não é necessário que você responda nada agora).

Passo 2

Princípio da primeira lei da termodinâmica para um sistema fechado (o gás no cilindro): escrevendo de forma geral,
\Delta E_\text{sistema}=Q+W_{\text{on}},
onde
  • \Delta E_\text{sistema} é a variação da energia total do sistema (energia interna + energia cinética + energia potencial);
  • Q é o calor fornecido ao sistema (positivo se entra no sistema, negativo se sai);
  • W_{\text{on}} é o trabalho realizado sobre o sistema (positivo se o entorno realiza trabalho sobre o sistema).
Explicando devagar: existem duas convenções comuns — usar W como trabalho realizado pelo sistema (nesse caso a lei fica \Delta E = Q - W) ou usar W_{\text{on}} como trabalho feito sobre o sistema (nesse caso a lei fica \Delta E = Q + W_{\text{on}}). Eu escolhi a segunda porque o enunciado diz “trabalho de compressão realizado sobre o gás”, ou seja, já nos dá W_{\text{on}} diretamente.

Passo 3

Agora simplificamos a equação desprezando termos que o enunciado permite ignorar:
  • Em problemas de pistão lento, as variações de energia cinética do conjunto e de energia potencial gravitacional são desprezíveis. Então
\Delta E_\text{sistema}\approx\Delta U,
onde \Delta U é a variação da energia interna do gás.
Portanto a equação simplificada do balanço de energia fica
\Delta U = Q + W_{\text{on}}.
Isto é o resultado pedido em (a): equação do balanço de energia para este sistema fechado, desprezando energia cinética e potencial.

Passo 4

Interpretação física da equação e sinais (muito útil na prova):
  • Se W_{\text{on}}>0 (compressão), esse trabalho tende a aumentar a energia interna do gás.
  • Se Q>0, entra calor no sistema e também aumenta \Delta U.
  • Se o processo é isotérmico para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura; logo, em um isotérmico ideal,
\Delta U=0.
Assim, para o isotérmico a equação do passo anterior reduz a
0 = Q + W_{\text{on}}.
Logo
Q = -W_{\text{on}}.
Interpretação: num processo isotérmico reversível, todo o trabalho feito sobre o gás deve ser retirado como calor para manter a temperatura constante. Esse é um ponto conceitual que cai muito em prova — fique com ele: isotérmico ideal \Rightarrow \Delta U=0 \Rightarrow calor trocado = negativo do trabalho sobre o gás (se o trabalho é sobre o gás, calor sai).

Passo 5

Aplicando ao dado numérico do item (b). O enunciado dá o trabalho de compressão realizado sobre o gás como 91 (escrito “91.atm”). Com a interpretação usual, tomo isso como
W_{\text{on}}=91\\ \mathrm{L\cdot atm}.
Usando a relação de conversão
1\\ \mathrm{L\cdot atm}=101{,}325\\ \mathrm{J},
temos
W_{\text{on}}=91\times 101{,}325\\ \mathrm{J}=9\,220{,}575\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma conveniente (duas casas significativas adequadas ao valor dado),
W_{\text{on}}\approx9{,}22\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Agora calculamos Q para o isotérmico usando a fórmula do passo 4:
Q=-W_{\text{on}}.
Substituindo o valor convertido:
Q \approx -9{,}22\times 10^{3}\\ \mathrm{J}.
Interpretação física: o sinal negativo indica que o gás cedeu calor para as vizinhanças (o calor foi retirado) durante a compressão isotérmica — exatamente o que se espera: ao comprimir lentamente mantendo temperatura, é necessário retirar calor do gás para evitar que ele aqueça.

Passo 7

Item (c): processo adiabático (isto é, Q=0). Voltando à equação simplificada do passo 3,
\Delta U = Q + W_{\text{on}}.
Se o processo é adiabático, Q=0, então
\Delta U = W_{\text{on}}.
No problema o pistão comprime o gás, então trabalho é realizado sobre o gás, W_{\text{on}}>0. Assim \Delta U>0. Você afirmou que “energia interna molar aumenta com a temperatura” — isto significa que um aumento de energia interna corresponde a um aumento de temperatura. Portanto, concluímos que a temperatura final é maior que a inicial:
T_{\text{final}}>50^\circ\mathrm{C}.
Explicação em palavras: em compressão adiabática (sem troca de calor), todo o trabalho realizado sobre o gás vai para aumentar sua energia interna, o que provoca aquecimento.

Resposta

a) \Delta U = Q + W_{\text{on}}\n
b) Q=-9{,}22\times 10^{3}\\ \mathrm{J}\n
c) T_{\text{final}}>50^\circ\mathrm{C}

Exercícios relacionados