O processo de respiração de E. coli para a produção de enzima, consome Glicose gerando dióxido de carbono, água e energia de acordo com as equações abaixo:
\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{12} \mathrm{O}_{6}+12 \mathrm{O}_{2} \rightarrow 6 \mathrm{CO}_{2}+6 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}
Dado: Glicose: \mathrm{H}_{\mathrm{f}}{ }^{0}=-1271 \mathrm{KJ} / \mathrm{mol}; dióxido de carbono: \mathrm{H}_{\mathrm{f}}{ }^{0}=-393,5 \mathrm{KJ} / \mathrm{mol}; 'água líquida: \mathrm{H}_{\mathrm{f}}{ }^{0}=- 285,5 \mathrm{KJ} / \mathrm{mol}
Considere que a diferença entre as condições padrões e 37^{\circ} \mathrm{C} (temperatura de crescimento da E. coli) seja insignificante e que toda a energia gerada na reação esteja na forma de calor.
a) Determine o calor de reação da respiração aeróbica
b) Determine a quantidade de energia liberada por unidade de tempo para um consumo de glicose de 10 \mathrm{mmol} / \mathrm{min}.L para cada litro de reação
c) Determine a quantidade total de energia liberada em um reator de 100 L
d) Supondo que todo o calor gerado por essa reação seja transferido a uma serpentina em que passa água gelada a 10^{\circ} \mathrm{C} e que ela saia a 20^{\circ} \mathrm{C}, estime a vazão de saída de água no sistema.
e) uma vazão de 100 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Estime a temperatura de saída da água
f) Supondo que a temperatura do reator seja controlada por uma serpentina onde a água entra a uma temperatura de 15^{\circ} \mathrm{C} e sai a uma temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}, estime a vazão volumétrica de água necessária.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas (a–f) sobre a reação de respiração aeróbica e a energia liberada. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos:
  • Perguntas:
    a) Determine o calor de reação da respiração aeróbica (por mol de glicose).
    b) Determine a energia liberada por unidade de tempo para consumo de glicose de 10\\ \mathrm{mmol/min\cdot L} por cada litro de reação.
    c) Determine a energia total liberada em um reator de 100\\ \mathrm{L}.
    d) Supondo que todo o calor vá para uma serpentina com água que entra a 10^\circ\mathrm{C} e sai a 20^\circ\mathrm{C}, estime a vazão de saída de água no sistema (assumo aqui que se refere ao reator de 100\\ \mathrm{L} do item (c)).
    e) Supondo agora uma vazão de água de 100\\ \mathrm{L/s}, estime a temperatura de saída da água (assumo mesma entrada a 10^\circ\mathrm{C}).
    f) Supondo que a água na serpentina entre a 15^\circ\mathrm{C} e saia a 20^\circ\mathrm{C}, estime a vazão volumétrica necessária (novamente para o reator de 100\\ \mathrm{L}).
  • Dados fornecidos:
    \mathrm{C}_6\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_6 + 12\\ \mathrm{O}_2 \rightarrow 6\\ \mathrm{CO}_2 + 6\\ \mathrm{H}_2\mathrm{O}
    (observação: a entalpia de formação de \mathrm{O}_2 elemental é 0)
    \Delta H^\circ_f(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_6) = -1271\\ \mathrm{kJ/mol}
\Delta H^\circ_f(\mathrm{CO}_2) = -393{,}5\\ \mathrm{kJ/mol}
\Delta H^\circ_f(\mathrm{H}_2\mathrm{O,\\ liquida}) = -285{,}5\\ \mathrm{kJ/mol}
consumo de glicose: \;10\\ \mathrm{mmol/min\cdot L} = 1{,}0\times 10^{-2}\\ \mathrm{mol/min\cdot L}.
  • Pressupostos/constantes que vou usar (padrões práticos para o problema):
    • toda a energia liberada é calor e é capturada pela água da serpentina;
    • calor específico da água: \;c_p = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)};
    • densidade da água: \; \rho = 1{,}00\\ \mathrm{kg/L} (logo 1\\ \mathrm{kg} = 1\\ \mathrm{L});
    • diferenças entre condições padrão e 37^\circ\mathrm{C} são desprezíveis (conforme enunciado).

Passo 2

Conceito e fórmula para calcular o calor de reação a partir de entalpias de formação (aulas rápidas e essenciais).
  • Definição: A entalpia padrão de formação \Delta H^\circ_f(X) de uma substância X é a variação de entalpia para formar 1 mol de X a partir dos constituintes elementares em suas formas padrão. Para uma reação química balanceada, a entalpia de reação padrão é dada por:
\Delta H^\circ_{rxn}=\sum_{\text{produtos}} \nu_i\Delta H^\circ_{f,i} - \sum_{\text{reagentes}} \nu_j\Delta H^\circ_{f,j},
onde \nu são os coeficientes estequiométricos (sempre positivos nas somas).
  • O sinal: se \Delta H^\circ_{rxn}<0 a reação é exotérmica (libera calor); se >0 é endotérmica (absorve calor).
  • Observação prática: \Delta H^\circ_f(\mathrm{O}_2) = 0, então termos com \mathrm{O}_2 não contribuem numericamente na soma.
  • Unidade: as entalpias que temos estão em \mathrm{kJ/mol}; ao multiplicar pelo número de mols envolvidos obtemos \mathrm{kJ} por mol de reação (por mol de glicose consumida).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso concreto (cálculo do calor de reação por mol de glicose).
  • A equação tem produtos: 6\\ \mathrm{CO}_2 e 6\\ \mathrm{H}_2\mathrm{O} e reagente glicose 1\\ \mathrm{mol}. Usamos:
\Delta H^\circ_{rxn}=6\Delta H^\circ_f(\mathrm{CO}_2)+6\Delta H^\circ_f(\mathrm{H}_2\mathrm{O}) - 1\cdot\Delta H^\circ_f(\mathrm{C}_6\mathrm{H}_{12}\mathrm{O}_6).
  • Substituindo números:
\Delta H^\circ_{rxn}=6\cdot(-393{,}5)+6\cdot(-285{,}5)-(-1271).
  • Calcule passo a passo:
6\cdot(-393{,}5)=-2361{,}0\\ \mathrm{kJ},
6\cdot(-285{,}5)=-1713{,}0\\ \mathrm{kJ},
\text{soma produtos}=-2361{,}0 + (-1713{,}0) = -4074{,}0\\ \mathrm{kJ}.
\Delta H^\circ_{rxn}=-4074{,}0 - (-1271{,}0) = -4074{,}0 + 1271{,}0 = -2803{,}0\\ \mathrm{kJ/mol}.
  • Interpretação: \Delta H^\circ_{rxn} = -2803{,}0\\ \mathrm{kJ/mol}. A reação é exotérmica e libera 2803{,}0\\ \mathrm{kJ} por mol de glicose consumido.

Passo 4

Energia liberada por unidade de tempo para consumo de 10\\ \mathrm{mmol/min\cdot L} (por litro de reação) — conversões e conceito de potência.
  • Conversão de fluxo molar:
10\\ \mathrm{mmol/min\cdot L} = 1{,}0\times 10^{-2}\\ \mathrm{mol/min\cdot L}.
  • Energia liberada por minuto por litro:
\dot{Q}_{\text{per L (kJ/min)}} = (1{,}0\times 10^{-2}\\ \mathrm{mol/min})\times (2803{,}0\\ \mathrm{kJ/mol}) = 28{,}03\\ \mathrm{kJ/min}.
  • Converter para potência (kJ/s = kW):
28{,}03\\ \mathrm{kJ/min} \times \frac{1\\ \mathrm{min}}{60\\ \mathrm{s}} = 0{,}46717\\ \mathrm{kJ/s} = 0{,}46717\\ \mathrm{kW}.
  • Em unidades mais usuais: 0{,}467\\ \mathrm{kW} = 467\\ \mathrm{W} por litro de reação.

Passo 5

Energia total liberada em um reator de 100\\ \mathrm{L} (escala linear).
  • A energia por litro (potência) é 0{,}46717\\ \mathrm{kW/L}. Para 100\\ \mathrm{L}:
\dot{Q}_{100\\ \mathrm{L}} = 100 \times 0{,}46717\\ \mathrm{kW} = 46{,}717\\ \mathrm{kW}.
  • Em termos de energia por minuto:
28{,}03\\ \mathrm{kJ/min\cdot L}\times 100 = 2803\\ \mathrm{kJ/min}.
  • Resumo prático: potência térmica total do reator \approx 46{,}7\\ \mathrm{kW} (ou 2803\\ \mathrm{kJ/min}).

Passo 6

Estimativa da vazão de saída de água quando água entra a 10^\circ\mathrm{C} e sai a 20^\circ\mathrm{C} (usando balanço de energia) — fórmula e cálculo.
  • Balanço de energia (estado estacionário): potência a remover (do reator) é absorvida pela água:
\dot{Q} = \dot{m}\, c_p\, \Delta T,
onde:
  • \dot{Q} é a potência térmica (em \mathrm{kJ/s}),
  • \dot{m} é a vazão mássica de água ( \mathrm{kg/s}),
  • c_p é o calor específico da água ( \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}),
  • \Delta T = T_{\text{saida}}-T_{\text{entrada}} em K (ou °C).
  • Valores: \dot{Q}=46{,}717\\ \mathrm{kW}=46{,}717\\ \mathrm{kJ/s}, c_p=4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, \Delta T=20-10=10\\ \mathrm{K}.
  • Resolvo para \dot{m}:
\dot{m}=\frac{\dot{Q}}{c_p\Delta T}=\frac{46{,}717}{4{,}18\times 10}=\frac{46{,}717}{41{,}8}=1{,}117\\ \mathrm{kg/s}.
  • Convertendo para vazão volumétrica (densidade 1\\ \mathrm{kg/L}):
\dot{V}=1{,}117\\ \mathrm{L/s} \approx 1{,}12\\ \mathrm{L/s}.
  • Em termos práticos: \dot{V}\approx 1{,}12\\ \mathrm{L/s} que é cerca de 67{,}0\\ \mathrm{L/min}.

Passo 7

Se a vazão de água for 100\\ \mathrm{L/s}, estimar a temperatura de saída (assumindo entrada a 10^\circ\mathrm{C}).
  • Primeira: convertemos vazão volumétrica para vazão mássica: \dot{m}=100\\ \mathrm{kg/s}.
  • Relação para aumento de temperatura:
\Delta T = \frac{\dot{Q}}{\dot{m} c_p} = \frac{46{,}717}{100\times 4{,}18} = \frac{46{,}717}{418} = 0{,}1119\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura de saída:
T_{\text{saida}} = T_{\text{entrada}} + \Delta T = 10{,}00^\circ\mathrm{C} + 0{,}1119^\circ\mathrm{C} \approx 10{,}11^\circ\mathrm{C}.
  • Interpretação: com fluxo tão grande a água praticamente não aquece (apenas ~0,11°C).

Passo 8

Caso em que a serpentina tem água entrando a 15^\circ\mathrm{C} e saindo a 20^\circ\mathrm{C}: calcular vazão volumétrica necessária (para o reator de 100\\ \mathrm{L}).
  • Aqui \Delta T = 20-15 = 5\\ \mathrm{K}. Uso a mesma fórmula:
\dot{m}=\frac{\dot{Q}}{c_p\Delta T}=\frac{46{,}717}{4{,}18\times 5} = \frac{46{,}717}{20{,}9} = 2{,}235\\ \mathrm{kg/s}.
  • Em vazão volumétrica:
\dot{V}\approx 2{,}235\\ \mathrm{L/s} \approx 2{,}24\\ \mathrm{L/s}.
  • Em termos práticos: cerca de 2{,}24\\ \mathrm{L/s} (ou 134{,}4\\ \mathrm{L/min}).

Resposta

a) \Delta H^\circ_{rxn} = -2803{,}0\\ \mathrm{kJ/mol}
b) Energia liberada por litro: 28{,}03\\ \mathrm{kJ/min\cdot L} = 0{,}467\\ \mathrm{kW\cdot L^{-1}} \;(\approx 467\\ \mathrm{W\cdot L^{-1}})
c) Para 100\\ \mathrm{L}: 2803\\ \mathrm{kJ/min} = 46{,}7\\ \mathrm{kW}
d) Vazão de saída de água (entrada 10^\circ\mathrm{C}, saída 20^\circ\mathrm{C}): \dot{V}\approx 1{,}12\\ \mathrm{L/s} (≈ 67{,}0\\ \mathrm{L/min})
e) Com vazão \dot{V}=100\\ \mathrm{L/s} (entrada 10^\circ\mathrm{C}): T_{\text{saida}}\approx 10{,}11^\circ\mathrm{C}
f) Se água entra a 15^\circ\mathrm{C} e sai a 20^\circ\mathrm{C}: \dot{V}\approx 2{,}24\\ \mathrm{L/s} (≈ 134{,}4\\ \mathrm{L/min})

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