Por que a variação da energia interna (
) de um gás ideal em um processo isotérmico é zero?
Passo 1
O que o enunciado pede: entender por que a variação da energia interna
de um gás ideal em um processo isotérmico é igual a zero.
Informações dadas (ou implicitamente usadas):
- O gás é um gás ideal.
- O processo é isotérmico, isto é, a temperatura do gás permanece constante ao longo do processo (portanto
). - Não há outras condições escondidas no enunciado (por exemplo, não estamos tratando de um gás real com fortes interações).
Passo 2
O que é energia interna
de um gás (explicação didática): a energia interna de um gás é a soma das energias microscópicas das partículas que o compõem — basicamente energia cinética das moléculas (movimento) mais energia potencial interna entre moléculas (devidas a forças intermoleculares). Em linguagem simples: imagine todas as moléculas pulando por aí — a energia interna é o somatório da energia de todos esses pulos mais qualquer “energia de ligação” entre elas.
Passo 3
O que significa “gás ideal” (explicação didática e por que é importante): um gás ideal é um modelo em que assumimos que as moléculas são partículas pontuais que não interagem entre si, exceto por colisões elásticas. Consequência física importante: não há energia potencial entre moléculas. Então, para um gás ideal, toda a energia interna é só energia cinética das moléculas.
Passo 4
Relação entre energia cinética média e temperatura (fórmula e definição das variáveis): a teoria cinética mostra que a energia cinética média por molécula depende apenas da temperatura. Para um gás com
graus de liberdade, a energia média por molécula é
onde
é a constante de Boltzmann e
é a temperatura absoluta. Aqui
é, por exemplo,
para um gás monoatômico ideal (apenas movimentos translação em 3 direções), e pode ser maior para moléculas diatômicas ou poliatômicas (inclui rotações, vibrações quando ativadas).
Passo 5
Expressão da energia interna total
para um gás ideal (derivação passo a passo): se há
moléculas, a energia interna total é
Usando
e
(onde
é o número de mols e
a constante universal dos gases), obtemos a forma macroscópica muito usada:
Explicando as variáveis:
é energia interna total,
é número de mols,
graus de liberdade,
constante dos gases e
temperatura.
Passo 6
Conclusão direta sobre
em processo isotérmico: da expressão acima vemos que
depende somente de
(para um gás ideal, não depende de
ou
diretamente). Assim, a variação de energia interna entre dois estados é
Num processo isotérmico temos
. Substituindo,
Portanto
.
Passo 7
Ligação com a Primeira Lei da Termodinâmica (intuição física): a Primeira Lei diz
onde
é o calor recebido pelo sistema e
é o trabalho realizado pelo sistema. Se
num processo isotérmico de gás ideal, isso implica
: o calor que entra no gás é exatamente usado para realizar trabalho (por exemplo, na expansão), sem alterar a energia interna. Isso dá a intuição física: a energia interna (energia cinética média das moléculas) não aumenta porque a temperatura não sobe — o calor recebido é convertido em trabalho.
Passo 8
Exemplo numérico simples (concreto, para fixar): suponha
mol de um gás ideal monoatômico (
), temperatura constante
K, e expansão reversível de
para
. O trabalho reversível é
A quantidade de calor recebida
é igual a esse
. Mesmo assim, como
, a energia interna muda em zero:
. Aqui o valor numérico de
não altera
; só mostra que calor e trabalho existem, mas se equilibram.
Passo 9
Observação importante — quando essa afirmação pode falhar: em gases reais, que têm interações intermoleculares, a energia interna pode depender também de
(ou densidade) além de
. Nesses casos um processo que é isotérmico ainda pode ter
. O enunciado usa explicitamente “gás ideal”, por isso a conclusão
vale.