Por que a variação da energia interna ( \Delta \mathrm{U} ) de um gás ideal em um processo isotérmico é zero?

Passo 1

O que o enunciado pede: entender por que a variação da energia interna \Delta U de um gás ideal em um processo isotérmico é igual a zero.
Informações dadas (ou implicitamente usadas):
  • O gás é um gás ideal.
  • O processo é isotérmico, isto é, a temperatura do gás permanece constante ao longo do processo (portanto \Delta T=0).
  • Não há outras condições escondidas no enunciado (por exemplo, não estamos tratando de um gás real com fortes interações).

Passo 2

O que é energia interna U de um gás (explicação didática): a energia interna de um gás é a soma das energias microscópicas das partículas que o compõem — basicamente energia cinética das moléculas (movimento) mais energia potencial interna entre moléculas (devidas a forças intermoleculares). Em linguagem simples: imagine todas as moléculas pulando por aí — a energia interna é o somatório da energia de todos esses pulos mais qualquer “energia de ligação” entre elas.

Passo 3

O que significa “gás ideal” (explicação didática e por que é importante): um gás ideal é um modelo em que assumimos que as moléculas são partículas pontuais que não interagem entre si, exceto por colisões elásticas. Consequência física importante: não há energia potencial entre moléculas. Então, para um gás ideal, toda a energia interna é só energia cinética das moléculas.

Passo 4

Relação entre energia cinética média e temperatura (fórmula e definição das variáveis): a teoria cinética mostra que a energia cinética média por molécula depende apenas da temperatura. Para um gás com f graus de liberdade, a energia média por molécula é
\langle \epsilon \rangle = \frac{f}{2} k T,
onde k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta. Aqui f é, por exemplo, f=3 para um gás monoatômico ideal (apenas movimentos translação em 3 direções), e pode ser maior para moléculas diatômicas ou poliatômicas (inclui rotações, vibrações quando ativadas).

Passo 5

Expressão da energia interna total U para um gás ideal (derivação passo a passo): se há N moléculas, a energia interna total é
U = N \langle \epsilon \rangle = N \cdot \frac{f}{2} k T.
Usando N = n N_A e R = N_A k (onde n é o número de mols e R a constante universal dos gases), obtemos a forma macroscópica muito usada:
U = n \cdot \frac{f}{2} R T.
Explicando as variáveis: U é energia interna total, n é número de mols, f graus de liberdade, R constante dos gases e T temperatura.

Passo 6

Conclusão direta sobre \Delta U em processo isotérmico: da expressão acima vemos que U depende somente de T (para um gás ideal, não depende de V ou P diretamente). Assim, a variação de energia interna entre dois estados é
\Delta U = n \cdot \frac{f}{2} R \,\Delta T.
Num processo isotérmico temos \Delta T = 0. Substituindo,
\Delta U = n \cdot \frac{f}{2} R \cdot 0 = 0.
Portanto \Delta U = 0.

Passo 7

Ligação com a Primeira Lei da Termodinâmica (intuição física): a Primeira Lei diz
\Delta U = Q - W,
onde Q é o calor recebido pelo sistema e W é o trabalho realizado pelo sistema. Se \Delta U=0 num processo isotérmico de gás ideal, isso implica Q = W: o calor que entra no gás é exatamente usado para realizar trabalho (por exemplo, na expansão), sem alterar a energia interna. Isso dá a intuição física: a energia interna (energia cinética média das moléculas) não aumenta porque a temperatura não sobe — o calor recebido é convertido em trabalho.

Passo 8

Exemplo numérico simples (concreto, para fixar): suponha n=1 mol de um gás ideal monoatômico ( f=3), temperatura constante T=300 K, e expansão reversível de V_i para V_f=2V_i. O trabalho reversível é
W = \int_{V_i}^{V_f} P\,dV = nRT\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)= (1)\,R\,(300)\ln 2.
A quantidade de calor recebida Q é igual a esse W. Mesmo assim, como \Delta T=0, a energia interna muda em zero: \Delta U=0. Aqui o valor numérico de W não altera \Delta U; só mostra que calor e trabalho existem, mas se equilibram.

Passo 9

Observação importante — quando essa afirmação pode falhar: em gases reais, que têm interações intermoleculares, a energia interna pode depender também de V (ou densidade) além de T. Nesses casos um processo que é isotérmico ainda pode ter \Delta U\neq 0. O enunciado usa explicitamente “gás ideal”, por isso a conclusão \Delta U=0 vale.

Resposta

\Delta U=0 porque, para um gás ideal, U=n\frac{f}{2}RT depende só da temperatura T; num processo isotérmico \Delta T=0, logo \Delta U=0.

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