Um circuito é formado por duas impedâncias em paralelo, Z1 com R1
e L1
10 mH e Z 2 com R2
e
, e uma fonte de alimentação de CA com um valor máximo de 300 V e uma frequência angular de
. Determine:
A variação com o tempo da corrente na impedância Z 2 , i2(t);
A variação com o tempo da corrente na impedância Z 2 , i2(t);
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um circuito com duas impedâncias em paralelo:
- Impedância Z₁: formada por um resistor de $ R_1 = 20,\Omega $ e um indutor de $ L_1 = 10,mH $.
- Impedância Z₂: formada por um resistor de $ R_2 = 30,\Omega $ e um capacitor de $ C_2 = 25,\muF $.
Além disso, o circuito está ligado a uma fonte de alimentação de corrente alternada (CA) com:
- Valor máximo da tensão: $ V_{máx} = 300,V $.
- Frequência angular: $ \omega = 2000,rad/s $.
Precisamos determinar a variação no tempo da corrente na impedância Z₂, ou seja, $ i_2(t) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de circuitos de corrente alternada, como impedância de componentes em CA, Lei de Ohm para AC e como componentes em paralelo afetam a corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a impedância total da impedância Z₂, que é formada pelo resistor e pelo capacitor em série.
A impedância de um resistor $ R $ é simplesmente $ Z_R = R $.
A impedância de um capacitor $ C $ em corrente alternada é dada por:
onde $ j $ é a unidade imaginária e $ \omega $ é a frequência angular.
Então, a impedância total de Z₂ ($ Z_2 $) é a soma das impedâncias do resistor e do capacitor:
Vamos calcular isso:
Dados:
- $ R_2 = 30,\Omega $
- $ C_2 = 25,\muF = 25 \times 10^{-6},F $
- $ \omega = 2000,rad/s $
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora que temos a impedância total Z₂, podemos encontrar a corrente através de Z₂ usando a Lei de Ohm para corrente alternada:
Aqui, $ V $ é a tensão máxima fornecida pela fonte, que é $ 300,V $.
Para dividir a tensão pela impedância complexa, vamos calcular o módulo da impedância Z₂:
onde $ X_C = \frac{1}{\omega C_2} $.
Calculando $ X_C $:
Então,
Agora, calculamos a corrente máxima $ I_{2,máx} $:
Passo 4
Para determinar a variação com o tempo da corrente $ i_2(t) $, precisamos levar em conta o ângulo de fase entre a tensão e a corrente devido à presença do capacitor.
O ângulo de fase $ \phi $ é dado por:
Agora, podemos expressar a corrente como uma função do tempo:
Substituindo os valores:
Convertendo o ângulo para radianos:
Então:
Resposta
A variação no tempo da corrente na impedância Z₂ é dada por: