Um circuito é formado por duas impedâncias em paralelo, Z1 com R1 =20 Omega e L1 = 10 mH e Z 2 com R2 =30 Omega e C2=25 mu F, e uma fonte de alimentação de CA com um valor máximo de 300 V e uma frequência angular de 2000 rad / s. Determine:
A variação com o tempo da corrente na impedância Z 2 , i2(t);

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um circuito com duas impedâncias em paralelo:
  • Impedância Z₁: formada por um resistor de $ R_1 = 20,\Omega $ e um indutor de $ L_1 = 10,mH $.
  • Impedância Z₂: formada por um resistor de $ R_2 = 30,\Omega $ e um capacitor de $ C_2 = 25,\muF $.
Além disso, o circuito está ligado a uma fonte de alimentação de corrente alternada (CA) com:
  • Valor máximo da tensão: $ V_{máx} = 300,V $.
  • Frequência angular: $ \omega = 2000,rad/s $.
Precisamos determinar a variação no tempo da corrente na impedância Z₂, ou seja, $ i_2(t) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de circuitos de corrente alternada, como impedância de componentes em CA, Lei de Ohm para AC e como componentes em paralelo afetam a corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a impedância total da impedância Z₂, que é formada pelo resistor e pelo capacitor em série.
A impedância de um resistor $ R $ é simplesmente $ Z_R = R $.
A impedância de um capacitor $ C $ em corrente alternada é dada por:
R
onde $ j $ é a unidade imaginária e $ \omega $ é a frequência angular.
Então, a impedância total de Z₂ ($ Z_2 $) é a soma das impedâncias do resistor e do capacitor:
ZR = R
Vamos calcular isso:
Dados:
  • $ R_2 = 30,\Omega $
  • $ C_2 = 25,\muF = 25 \times 10^{-6},F $
  • $ \omega = 2000,rad/s $
Substituindo os valores:
C
ZC = 1jomega C
j
omega
Z2

Passo 3

Agora que temos a impedância total Z₂, podemos encontrar a corrente através de Z₂ usando a Lei de Ohm para corrente alternada:
I2 = VZ2
Aqui, $ V $ é a tensão máxima fornecida pela fonte, que é $ 300,V $.
Para dividir a tensão pela impedância complexa, vamos calcular o módulo da impedância Z₂:
V
onde $ X_C = \frac{1}{\omega C_2} $.
Calculando $ X_C $:
300,V
|Z2| = raizR2^2 + (XC)^2
XC = 1omega C2
Então,
XC
XC = 12000,rad/s times 25 times 10^-6,F
XC = 10,05
XC = 20,Omega
Agora, calculamos a corrente máxima $ I_{2,máx} $:
|Z2| = raiz30^2 + 20^2 áá
|Z2| = raiz900 + 400 á
|Z2| = raiz1300 á

Passo 4

Para determinar a variação com o tempo da corrente $ i_2(t) $, precisamos levar em conta o ângulo de fase entre a tensão e a corrente devido à presença do capacitor.
O ângulo de fase $ \phi $ é dado por:
i2(t)
phi
phi = -arctan(XCR2)
Agora, podemos expressar a corrente como uma função do tempo:
phi = -arctan(2030) á
Substituindo os valores:
phi approx -33,69^circ
Convertendo o ângulo para radianos:
i2(t) = I2,máx cdot sin(omega t + phi)
Então:
i2(t) = 8,33,A cdot sin(2000,t - 33,69^circ)

Resposta

A variação no tempo da corrente na impedância Z₂ é dada por:
i2(t) = 8,33,A cdot sin(2000,t - 0,588)

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