No circuito da questão anterior, determine a faixa de valores que a resistência de carga R_{o} pode assumir. A tensão sobre R_{o} deve ser mantida em V_{o}=15 V e deve-se respeitar a máxima potência nominal do diodo zener P_{Z \max }=1 \mathrm{~W}. Considerar V_{Z}=15 V, R=100 \Omega e E=40 V.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a faixa de valores que a resistência de carga R_{o} pode assumir de modo que a tensão sobre R_{o} seja mantida em V_{o}=15\\ \text{V} e que a potência no diodo zener não ultrapasse P_{Z\max}=1\\ \text{W}.
Dados fornecidos:
  • V_{Z}=15\\ \text{V} (tensão zener pretendida e também V_{o});
  • R=100\\ \Omega (resistor série);
  • E=40\\ \text{V} (fonte);
  • P_{Z\max}=1\\ \text{W}.
Pergunta direta a responder: qual a faixa (intervalo) de valores de R_{o} que permite manter V_{o}=15\\ \text{V} sem que P_{Z} ultrapasse 1\\ \text{W}.

Passo 2

Vamos definir as correntes e a relação entre elas (Lei de Kirchhoff de correntes no nó do zener/load).
  • Corrente que sai da fonte e atravessa R: \,I_R.
  • Corrente pela carga: \,I_O.
  • Corrente pelo zener (para terra): \,I_Z.
Pela conservação de corrente no nó:
I_R = I_Z + I_O.
As expressões das correntes em função das tensões e resistências são:
I_R = \frac{E - V_o}{R}, \qquad I_O = \frac{V_o}{R_o}.
Portanto, isolando I_Z:
I_Z = I_R - I_O = \frac{E - V_o}{R} - \frac{V_o}{R_o}.
Aqui:
  • \,E é a fonte (dada),
  • \,V_o é a tensão desejada sobre a carga (dada),
  • \,R é o resistor série (dado),
  • \,R_o é a incógnita (o que vamos limitar).

Passo 3

Calcular a corrente fornecida pelo resistor com os valores numéricos (esta corrente é a corrente disponível para dividir entre zener e carga):
I_R = \frac{E - V_o}{R} = \frac{40 - 15}{100} = \frac{25}{100} = 0{,}25\\ \text{A}.
Explicação curta: essa é a corrente que fluiria pelo resistor se o nó estivesse mantido em 15\\ \text{V}.

Passo 4

Impor a limitação de potência do zener. A potência no zener é
P_Z = V_Z \, I_Z.
Para não exceder P_{Z\max} deve-se ter
I_Z \le \frac{P_{Z\max}}{V_Z}.
Calculemos o máximo permitido de corrente no zener:
I_{Z,\max}=\frac{P_{Z\max}}{V_Z}=\frac{1}{15}=0{,}066666\ldots\\ \text{A}=66{,}666\\ \text{mA}.

Passo 5

A partir de I_Z = I_R - I_O, o menor valor de I_O (isto é, o menor corrente na carga) ocorre quando I_Z atinge seu máximo permitido I_{Z,\max}. Assim:
I_{O,\min} = I_R - I_{Z,\max} = 0{,}25 - 0{,}066666\ldots = 0{,}183333\ldots\\ \text{A}.
Isso é a menor corrente que a carga pode ter sem que o zener dissipe mais do que 1\\ \text{W}.

Passo 6

Converter I_{O,\min} em resistência R_o. Como I_O = \dfrac{V_o}{R_o}, então
R_{o,\max} = \frac{V_o}{I_{O,\min}} = \frac{15}{0{,}183333\ldots}.
Calculemos:
R_{o,\max} \approx 81{,}8181818\\ \Omega \approx 81{,}82\\ \Omega.
Interpretação: se R_o for maior do que esse valor, a corrente da carga seria menor que I_{O,\min} e, consequentemente, I_Z aumentaria além de I_{Z,\max}, fazendo P_Z> P_{Z\max}. Portanto R_o não pode ser maior que esse valor.

Passo 7

Agora a outra extremidade da faixa: para que a tensão V_o=15\\ \text{V} permaneça, a corrente I_O não pode exceder a corrente que o resistor pode fornecer I_R. O limite prático inferior para R_o vem de I_Z \ge 0 (se I_Z ficasse negativa, o zener não estaria em sua região de regulação e a tensão não se manteria em 15\\ \text{V}). Assim, impondo I_Z \ge 0 temos I_O \le I_R. O maior I_O permitido é I_R, então:
I_{O,\max} = I_R = 0{,}25\\ \text{A}.
Daí
R_{o,\min} = \frac{V_o}{I_{O,\max}} = \frac{15}{0{,}25} = 60\\ \Omega.
Interpretação: se R_o for menor que 60\\ \Omega a carga exigirá mais corrente do que o resistor pode fornecer mantendo 15\\ \text{V}, e a tensão cairá abaixo de V_Z.

Passo 8

Juntando os limites obtidos:
  • limite inferior: R_{o,\min} = 60\\ \Omega,
  • limite superior: R_{o,\max} \approx 81{,}82\\ \Omega.
Observações didáticas e importantes:
  • Em R_o = 60\\ \Omega tem-se I_Z=0 (zener não conduz). A tensão no nó estará em 15\\ \text{V} desde que a fonte e o resistor mantenham essa queda; mas tecnicamente o zener não está dissipando potência.
  • Em R_o = 81{,}82\\ \Omega o zener conduz com I_Z = I_{Z,\max} e dissipa exatamente P_{Z\max}=1\\ \text{W}. Valores maiores de R_o fariam o zener dissipar mais do que o permitido.
  • Se a questão exigisse que o zener estivesse sempre em plena região de regulação com uma corrente mínima I_{Z,\min}>0, então o limite inferior seria maior que 60\\ \Omega. Como I_{Z,\min} não foi dado, usamos I_Z\ge 0.

Resposta

\;60\\ \Omega \le R_{o} \le 81{,}82\\ \Omega