Um circuito RLC em série é representado pela equação diferencial
L \frac{d^{2} i}{d t^{2}}+R \frac{d i}{d t}+\frac{i}{C}=V_{m} \cos (\omega t)
na qual L=20 \mathrm{mH}, R=200 \Omega, C=50 \mu \mathrm{~F} e a tensão aplicada possui os parâmetros V_{m}=100 \mathrm{Ve} \omega=500 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.
a. (10 pts) Determine a equação característica associada ao sistema e classifique a resposta natural (superamortecida, criticamente amortecida ou subamortecida).
b. (10 pts) Resolva a equação diferencial para obter a resposta completa i(t), considerando i(0)=0 \mathrm{~A} e d i\left(0^{+}\right) / d t=0 \mathrm{~A} / \mathrm{s}.
c. (10 pts) Determine a potência média dissipada pelo circuito em regime permanente.
d. (5 pts) Discuta o impacto da variação do resistor R no regime estacionário e transitório do sistema.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, para não nos perdermos no caminho.
O enunciado pede:
a. Determinar a equação característica associada ao sistema e classificar a resposta natural (superamortecida / criticamente amortecida / subamortecida).
b. Resolver a equação diferencial para obter a resposta completa i(t) com condições iniciais i(0)=0 e \left.\dfrac{di}{dt}\right|_{0^+}=0.
c. Determinar a potência média dissipada pelo circuito em regime permanente.
d. Discutir o impacto da variação de R no regime estacionário e no transitório.
Passo 2
Escrevendo a equação característica (parte a). Explico o porquê e como obter:
Para a resposta natural (transitória) consideramos a equação homogênea associada, isto é, o lado direito zero:L\frac{d^{2}i}{dt^{2}}+R\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}i=0.
Procuramos soluções do tipo i_h(t)=e^{r t}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica em r:L r^{2}+R r+\frac{1}{C}=0.
Esta é a equação característica pedida. (Isto resolve a primeira parte matemática: formar o polinômio característico.)
Passo 3
Classificação da resposta natural (continuação a). Vou calcular o discriminante e interpretar:
O discriminante é \Delta=R^{2}-4L\cdot\frac{1}{C}=R^{2}-\dfrac{4L}{C}.
Calculo numérico (peguei L,C,R do enunciado):R^{2}=200^{2}=40000, \qquad \frac{4L}{C}=\frac{4\cdot0{,}02}{5\times10^{-5}}=\frac{0{,}08}{5\times10^{-5}}=1600.
\Delta=40000-1600=38400>0.
Interpretação didática: se \Delta>0 as raízes r são reais e distintas e o sistema é superamortecido (overdamped, em português “superamortecido”).
Portanto a resposta natural é superamortecida.
Passo 4
Calcular explicitamente as raízes (continuando a parte a). Fórmula das raízes:
As raízes da quadrática sãor_{1,2}=\frac{-R\pm\sqrt{\Delta}}{2L}.
Conclusão numérica: r_1\approx-101{,}02\\ \mathrm{s^{-1}} e r_2\approx-9898{,}98\\ \mathrm{s^{-1}}. Duas raízes reais e negativas, confirmando superamortecimento.
Passo 5
Plano para a solução completa i(t) (início da parte b). Explico a metodologia passo a passo:
A solução geral da equação não-homogênea é soma da solução homogênea i_h(t) (transitória) e de uma solução particular i_p(t) (regime forçado/permanente):i(t)=i_h(t)+i_p(t).
Como já temos raízes distintas reais, i_h(t)=A e^{r_1 t}+B e^{r_2 t} com constantes A,B a determinar pelas condições iniciais.
Para i_p(t) (força senoidal), uso o método fasorial/numero complexo porque é o jeito padrão, prático e ensinável para circuitos RLC forçados por senóides: transformamos a fonte para fasor, calculamos a corrente fasorial e trazemos de volta ao tempo.
Passo 6
Cálculo da solução particular por fasores (continuação b). Ensino o conceito:
Para uma tensão v(t)=V_{m}\cos(\omega t) pode-se usar o fasor \tilde{V}=V_{m}\angle0. A impedância do circuito série éZ=R+j(\omega L-\tfrac{1}{\omega C}).Onde j é a unidade imaginária.
Então o fasor da corrente é \tilde{I}=\dfrac{\tilde{V}}{Z}. Em tempo, a solução particular éi_p(t)=I_{m}\cos(\omega t+\theta),onde I_{m}=|\tilde{I}| e \theta=\arg(\tilde{I}).
Passo 7
Calcular numericamente a impedância e o fasor da corrente:
Calcular as reatâncias:\omega L=500\cdot0{,}02=10\\ \Omega, \qquad \frac{1}{\omega C}=\frac{1}{500\cdot5\times10^{-5}}=\frac{1}{0{,}025}=40\\ \Omega.
Logo a parte imaginária da impedância é \omega L-\tfrac{1}{\omega C}=10-40=-30\\ \Omega (isso indica comportamento capacitivo líquido).
Impedância:Z=200-j30.
Módulo e ângulo de Z:|Z|=\sqrt{200^{2}+(-30)^{2}}=\sqrt{40900}\approx202{,}23\\ \Omega,
Fasor da corrente:\tilde{I}=\frac{100\angle0}{202{,}23\angle-0{,}1489}=0{,}4945\angle+0{,}1489.
Portanto:I_{m}=0{,}4945\\ \mathrm{A},\qquad \theta=0{,}1489\\ \text{rad}.Interpretação: a corrente no regime forçado tem amplitude 0{,}4945\\ \mathrm{A} e adianta a tensão em 0{,}1489\\ \mathrm{rad} (corrente “avança” porque o circuito é capacitivo).
Passo 8
Escrevendo a solução completa com incógnitas A,B (continuação b):
A solução geral ficai(t)=A e^{r_{1}t}+B e^{r_{2}t}+I_{m}\cos(\omega t+\theta).
Substituo os valores numéricos já obtidos:i(t)=A e^{-101{,}0205\,t}+B e^{-9898{,}9795\,t}+0{,}4945\cos(500t+0{,}1489).
Agora precisamos determinar A e B usando as condições iniciais.
Passo 9
Aplicar a condição inicial i(0)=0 (continuação b):
Em t=0:i(0)=A+B+I_{m}\cos(\theta)=0.
Ou seja:A+B=-I_{m}\cos\theta.
Calculo numérico de I_{m}\cos\theta:\cos(0{,}1489)\approx0{,}9889,\qquad I_{m}\cos\theta\approx0{,}4945\cdot0{,}9889\approx0{,}4889.
Logo:A+B\approx-0{,}4889.
Passo 10
Aplicar a condição inicial da derivada [\left.\dfrac{di}{dt}\right|_{0^+}=0) (continuação b). Explico como derivar:
Calculo numérico de I_{m}\omega\sin\theta:\sin(0{,}1489)\approx0{,}1484,\qquad I_{m}\omega\sin\theta\approx0{,}4945\cdot500\cdot0{,}1484\approx36{,}66.
Portanto o sistema linear para A,B é:\begin{cases} A+B\approx-0{,}4889,\\[4pt] A r_{1}+B r_{2}\approx36{,}66, \end{cases}com r_{1}\approx-101{,}0205\], \(r_{2}\approx-9898{,}9795.]
Passo 11
Resolver o sistema linear para A e B (continuação b). Faço passo a passo:
Isolo A=-0{,}4889-B e substituo na segunda equação:(-0{,}4889-B)r_{1}+Br_{2}=36{,}66.
Escrevendo a resposta completa i(t) com os coeficientes numéricos finais (final da parte b):
Substituindo A e B encontramos:i(t)\approx-0{,}4902006\,e^{-101{,}0205\,t}+0{,}0013006\,e^{-9898{,}9795\,t}+0{,}4945\cos(500t+0{,}1489).
Observação didática e prática: o termo com e^{-9898{,}98 t} decai extremamente rápido (constante de tempo \approx 1/9898\\ \mathrm{s}\approx 0{,}0001\\ \mathrm{s}), então ao fim de um tempo muito curto ele já é desprezível; o termo dominante do transitório é o com e^{-101{,}02 t} que decai com constante de tempo \approx0{,}0099\\ \mathrm{s}.
Passo 13
Potência média dissipada em regime permanente (parte c). Ensino a fórmula e calculo:
No regime permanente o circuito tem corrente i_p(t)=I_{m}\cos(\omega t+\theta) com amplitude I_{m}. A potência média dissipada no resistor R por uma corrente senoidal éP_{\text{média}}=I_{\text{rms}}^{2}R=\frac{I_{m}^{2}}{2}R.é(Aqui I_{\text{rms}}=I_{m}/\sqrt{2}.)
Substituindo I_{m}=0{,}4945\\ \mathrm{A} e R=200\\ \Omega:P_{\text{média}}=\frac{(0{,}4945)^{2}}{2}\cdot200=\frac{0{,}2445}{2}\cdot200=0{,}2445\cdot100\approx24{,}45\\ \mathrm{W}.é
Interpretação: cerca de 24{,}45\\ \mathrm{W} são dissipados continuamente no resistor em regime permanente.
Passo 14
Discussão do impacto da variação de R no regime estacionário e transitório (parte d). Vou ser didático e prático:
Fórmula útil (padrão): escrevendo a equação característica em forma normalizadar^{2}+\frac{R}{L}r+\frac{1}{LC}=0,a frequência natural não amortecida é \omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} e o coeficiente de amortecimento (razão adimensional) é\zeta=\frac{R}{2L\omega_{0}}=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}.
Se \zeta>1 (ou seja R grande) o sistema é superamortecido (sem oscilações).
Se \zeta=1 temos amortecimento crítico (a fronteira).
Se \zeta<1 temos subamortecimento (transitório oscilatório).
No caso numérico aqui:\sqrt{\frac{C}{L}}=\sqrt{\frac{5\times10^{-5}}{0{,}02}}=0{,}05,
\zeta=\frac{R}{2}\cdot0{,}05=0{,}025R.
A condição crítica \zeta=1 dá R_{\text{crítico}}=40\\ \Omegaí. Como R=200\\ \Omega\gg40\\ \Omega, estamos bem na região superamortecida.
Impactos práticos:
No transitório:
Aumentar R aumenta \zeta e assim aumenta o amortecimento: os exponenciais decaem mais rapidamente (resposta mais “amortecida”, sem oscilações) e as constantes de tempo mudam. Diminuir R pode conduzir da regime superamortecido para criticamente amortecido (R\approx40\\ \Omega) e então para subamortecido, onde surgiriam oscilações amortecidas.
Em subamortecimento a resposta transitória oscila com frequência \omega_d=\omega_{0}\sqrt{1-\zeta^{2}}; portanto reduzir R introduz oscilações no transitório.
No regime estacionário (respuesta forçada):
A amplitude do termo forçado I_{m} depende de |Z|=\sqrt{R^{2}+(\omega L-1/(\omega C))^{2}}. Aumentar R tende a aumentar |Z| (a menos que se esteja exatamente na ressonância onde X_L-X_C=0), reduzindo I_{m} e, consequentemente, a potência dissipada; reduzir R tende a aumentar I_{m} (especialmente perto da ressonância) e a potência.
Em particular, na ressonância \omega=\omega_{0} a impedância é mínima (apenas R) e a corrente máxima é I_{m}^{\text{res}}=V_{m}/R; logo um R pequeno pode produzir correntes muito grandes em ressonância (importante para proteção do circuito).
Resumindo em linguagem amigável: aumentar R “amortece” mais (transitório mais rápido sem oscilações) e reduz a corrente no regime permanente; reduzir R pode causar oscilações no transitório e aumentar a corrente estacionária (perigoso perto da ressonância).
Resposta
a. Equação característica: Lr^{2}+Rr+\dfrac{1}{C}=0. As raízes são r_{1}\approx-101{,}0205\\ \mathrm{s^{-1}} e r_{2}\approx-9898{,}9795\\ \mathrm{s^{-1}}. Classificação: superamortecida.
b. i(t)\approx-0{,}4902006\,e^{-101{,}0205\,t}+0{,}0013006\,e^{-9898{,}9795\,t}+0{,}4945\cos(500t+0{,}1489)\\ \mathrm{A}.
c. Potência média em regime permanente: P_{\text{média}}\approx24{,}45\\ \mathrm{W}.é
d. Aumentar R aumenta o amortecimento (transitório decai mais rápido, menos chance de oscilações) e reduz a amplitude da corrente no regime estacionário; reduzir R diminui o amortecimento (pode gerar transitório oscilatório se R<R_{\text{crítico}}=40\\ \Omegaí) e aumenta a corrente estacionária (especialmente perigoso próximo da ressonância).