Um circuito RLC em série é representado pela equação diferencial
L \frac{d^{2} i}{d t^{2}}+R \frac{d i}{d t}+\frac{i}{C}=V_{m} \cos (\omega t)
na qual L=20 \mathrm{mH}, R=200 \Omega, C=50 \mu \mathrm{~F} e a tensão aplicada possui os parâmetros V_{m}=100 \mathrm{Ve} \omega=500 \mathrm{rad} / \mathrm{s}.
a. (10 pts) Determine a equação característica associada ao sistema e classifique a resposta natural (superamortecida, criticamente amortecida ou subamortecida).
b. (10 pts) Resolva a equação diferencial para obter a resposta completa i(t), considerando i(0)=0 \mathrm{~A} e d i\left(0^{+}\right) / d t=0 \mathrm{~A} / \mathrm{s}.
c. (10 pts) Determine a potência média dissipada pelo circuito em regime permanente.
d. (5 pts) Discuta o impacto da variação do resistor R no regime estacionário e transitório do sistema.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede, para não nos perdermos no caminho.
  • Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
    • Indutância: L=20\\ \mathrm{mH}=0{,}02\\ \mathrm{H}.
    • Resistência: R=200\\ \Omega.
    • Capacitância: C=50\\ \mu\mathrm{F}=5\times10^{-5}\\ \mathrm{F}.
    • Tensão aplicada: v(t)=V_{m}\cos(\omega t) com V_{m}=100\\ \mathrm{V} e \omega=500\\ \mathrm{rad/s}.
  • Equação diferencial dada: L\frac{d^{2}i}{dt^{2}}+R\frac{di}{dt}+\frac{i}{C}=V_{m}\cos(\omega t).
  • O enunciado pede:
    a. Determinar a equação característica associada ao sistema e classificar a resposta natural (superamortecida / criticamente amortecida / subamortecida).
    b. Resolver a equação diferencial para obter a resposta completa i(t) com condições iniciais i(0)=0 e \left.\dfrac{di}{dt}\right|_{0^+}=0.
    c. Determinar a potência média dissipada pelo circuito em regime permanente.
    d. Discutir o impacto da variação de R no regime estacionário e no transitório.

Passo 2

Escrevendo a equação característica (parte a). Explico o porquê e como obter:
  • Para a resposta natural (transitória) consideramos a equação homogênea associada, isto é, o lado direito zero: L\frac{d^{2}i}{dt^{2}}+R\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}i=0.
  • Procuramos soluções do tipo i_h(t)=e^{r t}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica em r: L r^{2}+R r+\frac{1}{C}=0.
  • Esta é a equação característica pedida. (Isto resolve a primeira parte matemática: formar o polinômio característico.)

Passo 3

Classificação da resposta natural (continuação a). Vou calcular o discriminante e interpretar:
  • O discriminante é \Delta=R^{2}-4L\cdot\frac{1}{C}=R^{2}-\dfrac{4L}{C}.
  • Calculo numérico (peguei L,C,R do enunciado): R^{2}=200^{2}=40000, \qquad \frac{4L}{C}=\frac{4\cdot0{,}02}{5\times10^{-5}}=\frac{0{,}08}{5\times10^{-5}}=1600.
\Delta=40000-1600=38400>0.
  • Interpretação didática: se \Delta>0 as raízes r são reais e distintas e o sistema é superamortecido (overdamped, em português “superamortecido”).
  • Portanto a resposta natural é superamortecida.

Passo 4

Calcular explicitamente as raízes (continuando a parte a). Fórmula das raízes:
  • As raízes da quadrática são r_{1,2}=\frac{-R\pm\sqrt{\Delta}}{2L}.
  • Substituindo valores: \sqrt{\Delta}=\sqrt{38400}\approx195{,}959.
r_{1}=\frac{-200+195{,}959}{2\cdot0{,}02}=\frac{-4{,}041}{0{,}04}\approx-101{,}0205\\ \mathrm{s^{-1}},
r_{2}=\frac{-200-195{,}959}{0{,}04}=\frac{-395{,}959}{0{,}04}\approx-9898{,}9795\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Conclusão numérica: r_1\approx-101{,}02\\ \mathrm{s^{-1}} e r_2\approx-9898{,}98\\ \mathrm{s^{-1}}. Duas raízes reais e negativas, confirmando superamortecimento.

Passo 5

Plano para a solução completa i(t) (início da parte b). Explico a metodologia passo a passo:
  • A solução geral da equação não-homogênea é soma da solução homogênea i_h(t) (transitória) e de uma solução particular i_p(t) (regime forçado/permanente): i(t)=i_h(t)+i_p(t).
  • Como já temos raízes distintas reais, i_h(t)=A e^{r_1 t}+B e^{r_2 t} com constantes A,B a determinar pelas condições iniciais.
  • Para i_p(t) (força senoidal), uso o método fasorial/numero complexo porque é o jeito padrão, prático e ensinável para circuitos RLC forçados por senóides: transformamos a fonte para fasor, calculamos a corrente fasorial e trazemos de volta ao tempo.

Passo 6

Cálculo da solução particular por fasores (continuação b). Ensino o conceito:
  • Para uma tensão v(t)=V_{m}\cos(\omega t) pode-se usar o fasor \tilde{V}=V_{m}\angle0. A impedância do circuito série é Z=R+j(\omega L-\tfrac{1}{\omega C}).Onde j é a unidade imaginária.
  • Então o fasor da corrente é \tilde{I}=\dfrac{\tilde{V}}{Z}. Em tempo, a solução particular é i_p(t)=I_{m}\cos(\omega t+\theta),onde I_{m}=|\tilde{I}| e \theta=\arg(\tilde{I}).

Passo 7

Calcular numericamente a impedância e o fasor da corrente:
  • Calcular as reatâncias: \omega L=500\cdot0{,}02=10\\ \Omega, \qquad \frac{1}{\omega C}=\frac{1}{500\cdot5\times10^{-5}}=\frac{1}{0{,}025}=40\\ \Omega.
  • Logo a parte imaginária da impedância é \omega L-\tfrac{1}{\omega C}=10-40=-30\\ \Omega (isso indica comportamento capacitivo líquido).
  • Impedância: Z=200-j30.
  • Módulo e ângulo de Z: |Z|=\sqrt{200^{2}+(-30)^{2}}=\sqrt{40900}\approx202{,}23\\ \Omega,
\arg(Z)=\arctan\bigg(\frac{-30}{200}\bigg)\approx-0{,}1489\\ \text{rad}.
  • Fasor da corrente: \tilde{I}=\frac{100\angle0}{202{,}23\angle-0{,}1489}=0{,}4945\angle+0{,}1489.
  • Portanto: I_{m}=0{,}4945\\ \mathrm{A},\qquad \theta=0{,}1489\\ \text{rad}.Interpretação: a corrente no regime forçado tem amplitude 0{,}4945\\ \mathrm{A} e adianta a tensão em 0{,}1489\\ \mathrm{rad} (corrente “avança” porque o circuito é capacitivo).

Passo 8

Escrevendo a solução completa com incógnitas A,B (continuação b):
  • A solução geral fica i(t)=A e^{r_{1}t}+B e^{r_{2}t}+I_{m}\cos(\omega t+\theta).
  • Substituo os valores numéricos já obtidos: i(t)=A e^{-101{,}0205\,t}+B e^{-9898{,}9795\,t}+0{,}4945\cos(500t+0{,}1489).
  • Agora precisamos determinar A e B usando as condições iniciais.

Passo 9

Aplicar a condição inicial i(0)=0 (continuação b):
  • Em t=0: i(0)=A+B+I_{m}\cos(\theta)=0.
  • Ou seja: A+B=-I_{m}\cos\theta.
  • Calculo numérico de I_{m}\cos\theta: \cos(0{,}1489)\approx0{,}9889,\qquad I_{m}\cos\theta\approx0{,}4945\cdot0{,}9889\approx0{,}4889.
  • Logo: A+B\approx-0{,}4889.

Passo 10

Aplicar a condição inicial da derivada [\left.\dfrac{di}{dt}\right|_{0^+}=0) (continuação b). Explico como derivar:
  • Derivada geral: \frac{di}{dt}=A r_{1}e^{r_{1}t}+B r_{2}e^{r_{2}t}-I_{m}\omega\sin(\omega t+\theta).
  • Em t=0^+: A r_{1}+B r_{2}-I_{m}\omega\sin\theta=0.(a condição dada é zero).
  • Reescrevendo: A r_{1}+B r_{2}=I_{m}\omega\sin\theta.
  • Calculo numérico de I_{m}\omega\sin\theta: \sin(0{,}1489)\approx0{,}1484,\qquad I_{m}\omega\sin\theta\approx0{,}4945\cdot500\cdot0{,}1484\approx36{,}66.
  • Portanto o sistema linear para A,B é: \begin{cases} A+B\approx-0{,}4889,\\[4pt] A r_{1}+B r_{2}\approx36{,}66, \end{cases}com r_{1}\approx-101{,}0205\], \(r_{2}\approx-9898{,}9795.]

Passo 11

Resolver o sistema linear para A e B (continuação b). Faço passo a passo:
  • Isolo A=-0{,}4889-B e substituo na segunda equação: (-0{,}4889-B)r_{1}+Br_{2}=36{,}66.
-0{,}4889\,r_{1}-B r_{1}+B r_{2}=36{,}66.
B(r_{2}-r_{1})=36{,}66+0{,}4889\,r_{1}.
  • Calculo numérico: 0{,}4889\,r_{1}\approx0{,}4889\cdot(-101{,}0205)\approx-49{,}404,
36{,}66+0{,}4889\,r_{1}\approx36{,}66-49{,}404\approx-12{,}744.
r_{2}-r_{1}\approx-9898{,}9795-(-101{,}0205)=-9797{,}959.
B\approx\frac{-12{,}744}{-9797{,}959}\approx0{,}0013006.
  • Então A\approx-0{,}4889-0{,}0013006\approx-0{,}4902006.

Passo 12

Escrevendo a resposta completa i(t) com os coeficientes numéricos finais (final da parte b):
  • Substituindo A e B encontramos: i(t)\approx-0{,}4902006\,e^{-101{,}0205\,t}+0{,}0013006\,e^{-9898{,}9795\,t}+0{,}4945\cos(500t+0{,}1489).
  • Observação didática e prática: o termo com e^{-9898{,}98 t} decai extremamente rápido (constante de tempo \approx 1/9898\\ \mathrm{s}\approx 0{,}0001\\ \mathrm{s}), então ao fim de um tempo muito curto ele já é desprezível; o termo dominante do transitório é o com e^{-101{,}02 t} que decai com constante de tempo \approx0{,}0099\\ \mathrm{s}.

Passo 13

Potência média dissipada em regime permanente (parte c). Ensino a fórmula e calculo:
  • No regime permanente o circuito tem corrente i_p(t)=I_{m}\cos(\omega t+\theta) com amplitude I_{m}. A potência média dissipada no resistor R por uma corrente senoidal é P_{\text{média}}=I_{\text{rms}}^{2}R=\frac{I_{m}^{2}}{2}R.é(Aqui I_{\text{rms}}=I_{m}/\sqrt{2}.)
  • Substituindo I_{m}=0{,}4945\\ \mathrm{A} e R=200\\ \Omega: P_{\text{média}}=\frac{(0{,}4945)^{2}}{2}\cdot200=\frac{0{,}2445}{2}\cdot200=0{,}2445\cdot100\approx24{,}45\\ \mathrm{W}.é
  • Interpretação: cerca de 24{,}45\\ \mathrm{W} são dissipados continuamente no resistor em regime permanente.

Passo 14

Discussão do impacto da variação de R no regime estacionário e transitório (parte d). Vou ser didático e prático:
  • Fórmula útil (padrão): escrevendo a equação característica em forma normalizada r^{2}+\frac{R}{L}r+\frac{1}{LC}=0,a frequência natural não amortecida é \omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} e o coeficiente de amortecimento (razão adimensional) é \zeta=\frac{R}{2L\omega_{0}}=\frac{R}{2}\sqrt{\frac{C}{L}}.
    • Se \zeta>1 (ou seja R grande) o sistema é superamortecido (sem oscilações).
    • Se \zeta=1 temos amortecimento crítico (a fronteira).
    • Se \zeta<1 temos subamortecimento (transitório oscilatório).
  • No caso numérico aqui: \sqrt{\frac{C}{L}}=\sqrt{\frac{5\times10^{-5}}{0{,}02}}=0{,}05,
\zeta=\frac{R}{2}\cdot0{,}05=0{,}025R.
A condição crítica \zeta=1 R_{\text{crítico}}=40\\ \Omegaí. Como R=200\\ \Omega\gg40\\ \Omega, estamos bem na região superamortecida.
  • Impactos práticos:
    • No transitório:
      • Aumentar R aumenta \zeta e assim aumenta o amortecimento: os exponenciais decaem mais rapidamente (resposta mais “amortecida”, sem oscilações) e as constantes de tempo mudam. Diminuir R pode conduzir da regime superamortecido para criticamente amortecido ( R\approx40\\ \Omega) e então para subamortecido, onde surgiriam oscilações amortecidas.
      • Em subamortecimento a resposta transitória oscila com frequência \omega_d=\omega_{0}\sqrt{1-\zeta^{2}}; portanto reduzir R introduz oscilações no transitório.
    • No regime estacionário (respuesta forçada):
      • A amplitude do termo forçado I_{m} depende de |Z|=\sqrt{R^{2}+(\omega L-1/(\omega C))^{2}}. Aumentar R tende a aumentar |Z| (a menos que se esteja exatamente na ressonância onde X_L-X_C=0), reduzindo I_{m} e, consequentemente, a potência dissipada; reduzir R tende a aumentar I_{m} (especialmente perto da ressonância) e a potência.
      • Em particular, na ressonância \omega=\omega_{0} a impedância é mínima (apenas R) e a corrente máxima é I_{m}^{\text{res}}=V_{m}/R; logo um R pequeno pode produzir correntes muito grandes em ressonância (importante para proteção do circuito).
  • Resumindo em linguagem amigável: aumentar R “amortece” mais (transitório mais rápido sem oscilações) e reduz a corrente no regime permanente; reduzir R pode causar oscilações no transitório e aumentar a corrente estacionária (perigoso perto da ressonância).

Resposta

a. Equação característica: Lr^{2}+Rr+\dfrac{1}{C}=0. As raízes são r_{1}\approx-101{,}0205\\ \mathrm{s^{-1}} e r_{2}\approx-9898{,}9795\\ \mathrm{s^{-1}}. Classificação: superamortecida.
b. i(t)\approx-0{,}4902006\,e^{-101{,}0205\,t}+0{,}0013006\,e^{-9898{,}9795\,t}+0{,}4945\cos(500t+0{,}1489)\\ \mathrm{A}.
c. Potência média em regime permanente: P_{\text{média}}\approx24{,}45\\ \mathrm{W}.é
d. Aumentar R aumenta o amortecimento (transitório decai mais rápido, menos chance de oscilações) e reduz a amplitude da corrente no regime estacionário; reduzir R diminui o amortecimento (pode gerar transitório oscilatório se R<R_{\text{crítico}}=40\\ \Omegaí) e aumenta a corrente estacionária (especialmente perigoso próximo da ressonância).

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