O coeficiente de compressibilidade k é definido por
т. Calcule o valor de k para um gás ideal.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o coeficiente de compressibilidade $ k $. A gente precisa calcular $ k $ para um gás ideal usando a definição $ \mathrm{k} = -\left(\frac{1}{\mathrm{V}}\right)\left(\frac{\delta \mathrm{V}}{\delta \mathrm{P}}\right) $. Para isso, vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão, volume e temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei dos Gases Ideais, que é dada por:
Onde:
- $ \mathrm{P} $ é a pressão,
- $ \mathrm{V} $ é o volume,
- $ \mathrm{n} $ é a quantidade de matéria,
- $ \mathrm{R} $ é a constante dos gases,
- $ \mathrm{T} $ é a temperatura.
Passo 3
Vamos isolar o volume $ \mathrm{V} $ na equação para expressá-lo em função da pressão $ \mathrm{P} $:
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ \mathrm{V} $ em relação a $ \mathrm{P} $, ou seja, $ \frac{\delta \mathrm{V}}{\delta \mathrm{P}} $.
Passo 4
Calculando a derivada de $ \mathrm{V} $ em relação a $ \mathrm{P} $:
Essa derivada nos mostra como o volume muda quando a pressão varia.
Passo 5
Agora, vamos substituir $ \frac{\delta \mathrm{V}}{\delta \mathrm{P}} $ na definição do coeficiente de compressibilidade $ k $:
Simplificando os sinais negativos:
Resposta
Para um gás ideal, o coeficiente de compressibilidade $ k $ é dado por: