O coeficiente de Joule-Thomson de um gás pode ser expresso por: \mu_{J T}=0,3-0,02 P(K / b a r) e sua capacidade calorífica é C_{P}=27,2 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}. Qual é a variação de entalpia e de energia interna do gás, em uma transformação em que sua temperatura passa de 20^{\circ} \mathrm{C} para 100^{\circ} \mathrm{C} e a pressão eleva-se de 1 bar para 20 bar? Coordenadas críticas do gás: T_{c}=207 \mathrm{~K} ; P_{c}=32,5 \mathrm{bar}

Passo 1

O enunciado dá o coeficiente de Joule–Thomson
\mu_{JT}(P)=0,3-0,02\,P\quad\bigl(K/\mathrm{bar}\bigr)
e a capacidade molar a pressão constante
C_P=27,2\;J/(mol\cdot K).
Queremos calcular a variação de entalpia \Delta H e a variação de energia interna \Delta U para um mol do gás, quando a temperatura varia de
T_1=20^\circ C=293\;K \quad\text{para}\quad T_2=100^\circ C=373\;K
e a pressão de
P_1=1\;\mathrm{bar} \quad\text{para}\quad P_2=20\;\mathrm{bar}.
Para \Delta H usamos a relação de campo total para entalpia:
\Delta H =\int_{T_1}^{T_2}C_P\,dT +\int_{P_1}^{P_2}\Bigl(\frac{\partial H}{\partial P}\Bigr)_T dP
e sabemos que
\Bigl(\frac{\partial H}{\partial P}\Bigr)_T =-\,C_P\,\mu_{JT}(P).

Passo 2

Escrevendo explicitamente os integras:
\Delta H =C_P\,(T_2-T_1) - C_P\int_{P_1}^{P_2}\bigl[0,3-0,02\,P\bigr]\,dP.

Passo 3

Calculamos primeiro
T_2-T_1 =373-293=80\;K
e
\int_{P_1}^{P_2}(0,3-0,02\,P)\,dP =0,3\,(P_2-P_1) -0,02\,\frac{P_2^2-P_1^2}{2}.
Substituindo P_1=1, P_2=20:
P_2-P_1=19,\quad P_2^2-P_1^2=400-1=399,
\int_{1}^{20}(0,3-0,02P)\,dP =0,3\cdot19-0,02\cdot\frac{399}{2} =5,7-3,99=1,71\;K.

Passo 4

Logo
\Delta H =C_P\bigl(80-1,71\bigr) =27,2\cdot78,29\approx2129{,}5\;J\approx2{,}13\;kJ.

Passo 5

Para \Delta U usamos
\Delta U=\Delta H-\Delta(pV).
Como não dispomos de EOS detalhada, aproximamos o gás por ideal no termo \Delta(pV), ficando
\Delta(pV)=R\,(T_2-T_1)=8,314\cdot80\approx665{,}1\;J.
Assim
\Delta U =\;2129{,}5-665{,}1 \approx1464{,}4\;J\approx1{,}46\;kJ.

Resposta

\displaystyle \Delta H\approx2{,}13\;kJ/mol,\quad \Delta U\approx1{,}46\;kJ/mol.

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