A energia interna de um mol de gás de van der Waals expressa-se por: d U=C_{V} d T+\left(\frac{a}{\bar{V}^{2}}\right) d V. Determine as quantidades de calor e trabalho e variações de energia interna e entalpia de 3 mol de cloro, submetidos a uma expansão isotérmica quase-estática, a 25^{\circ} \mathrm{C}, em que o volume da massa gasosa passa de 3,561 litros para 12,705 litros. Constantes de van der Waals do cloro: a=0,655 J . \mathrm{m}^{3} /\left(\mathrm{mol}^{2}\right) ; b=5,62 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{mol}.

Passo 1

O enunciado descreve uma expansão quase‐estática e isotérmica T= constante) de n=3 mol de \mathrm{Cl}_2 de V_i=3{,}561 L para V_f=12{,}705 L a 25^\circ\mathrm C ( T=298{,}15 K). As constantes de van der Waals são a=0{,}655,J· m^{3}·mo l^{-}² e b=5{,}62\times10^{-5}, m^{3}·mo l^{-}¹.
Conteúdo: termodinâmica de gás real (van der Waals), 1.ª lei ( \Delta U=q+W, equação de estado van der Waals, e cálculo de U, H, Q e W.

Passo 2

Cálculo da variação de energia interna \Delta U. Para van der Waals temos
dU = C_V\,dT + \Bigl(\frac{a}{\bar V^2}\Bigr)dV,
e em processo isotérmico dT=0. Usando \bar V=V/n, integra-se de V_i a V_f:
\Delta U = \int_{V_i}^{V_f}\!a\,\frac{n^2}{V^2}\,dV = a\,n^2\Bigl[\frac{1}{V_i}-\frac{1}{V_f}\Bigr].
Convertendo volumes para m^{3}: V_i=3{,}561\times10^{-3} m^{3}, V_f=12{,}705\times10^{-3} m^{3},
\Delta U =0{,}655\cdot9\Bigl[\frac1{3{,}561\times10^{-3}} -\frac1{12{,}705\times10^{-3}}\Bigr]\approx1{,}19\times10^3\text{ J}.

Passo 3

Cálculo do trabalho W realizado pelo gás (tomando W>0 se o gás realiza trabalho):
W=\int_{V_i}^{V_f}P_{\rm rev}\,dV =\int_{V_i}^{V_f}\Bigl[\frac{nRT}{V-nb}-\frac{a\,n^2}{V^2}\Bigr]dV.
Separando termos e integrando:
W =nRT\ln\!\Bigl(\frac{V_f-nb}{V_i-nb}\Bigr) \;-\;a\,n^2\Bigl[\frac1{V_i}-\frac1{V_f}\Bigr].
Com n=3, R=8{,}314, J\cdot mo l^{-} ^{1}\cdot K^{-}¹, T=298{,}15 K, nb=3\cdot5{,}62\times10^{-5}=1{,}686\times10^{-4} m^{3}, obtemos
nRT\ln\!\Bigl(\tfrac{12{,}705-0{,}1686}{3{,}561-0{,}1686}\Bigr) \approx9{,}72\times10^3\text{ J}, \quad a\,n^2\bigl[\tfrac1{V_i}-\tfrac1{V_f}\bigr]\approx1{,}19\times10^3\text{ J},
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W\approx9{,}72\times10^3 -1{,}19\times10^3 =8{,}53\times10^3\text{ J}.

Passo 4

Cálculo do calor Q pela 1.ª lei, \Delta U=Q-W (onde W é o trabalho realizado pelo gás):
Q=\Delta U + W \approx1{,}19\times10^3 +8{,}53\times10^3 =9{,}72\times10^3\text{ J}.

Passo 5

Cálculo da variação de entalpia \Delta H. Para gás de van der Waals
H = U + pV \quad\Longrightarrow\quad dH = C_p\,dT + \Bigl[2\,\frac{a\,n^2}{V^2}-\frac{nR T\,b}{(V-nb)^2}\Bigr]dV.
Em processo isotérmico dT=0, integra-se de V_i a V_f:
\Delta H =2a\,n^2\Bigl[\frac1{V_i}-\frac1{V_f}\Bigr] + nR T\,b\Bigl[\frac1{V_f-nb}-\frac1{V_i-nb}\Bigr].
Numericamente isso dá
\Delta H\approx2\cdot1{,}19\times10^3 -0{,}09\times10^3 \approx2{,}29\times10^3\text{ J}.

Resposta

Q ≈ 9{,}72\times10^3 J
W ≈ 8{,}53\times10^3 J (trabalho realizado pelo gás) \Delta U 1{,}19\times10^3 J \Delta H 2{,}29\times10^3 J

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