Em um tanque são misturados 200 mols de um líquido a 300 K e 100 mols do mesmo líquido a 500 K . Sabendo-se que o líquido é incompressível e sua capacidade calorífica é
calcule o calor envolvido para que a temperatura final no tanque seja de 500 K .
Passo 1
O enunciado pede para calcular o calor necessário para que a mistura final no tanque atinja a temperatura de
. Informações dadas:
-
mol do líquido estão a . -
mol do mesmo líquido estão a . - O líquido é incompressível.
- A capacidade calorífica molar depende da temperatura e é dada por
- Temperatura final desejada:
.
O que temos que entregar: o valor do calor (positivo se for fornecido ao sistema) necessário para que a mistura chegue a
.
Passo 2
Ideia física e fórmula a usar (explicada com calma): quando aquecemos uma quantidade
(em mols) de uma substância cuja capacidade calorífica molar
depende da temperatura, o calor necessário para elevar sua temperatura de
até
é dado por
Explicando cada símbolo:
-
é o calor (em calorias, aqui, porque está em ). -
é o número de mols da porção considerada. -
é a capacidade calorífica molar como função da temperatura (aqui ). -
e são temperatura inicial e final (em ).
Motivo físico simples: integrarsoma os pequenos incrementos de energia necessários para aumentar a temperatura um pequeno ; multiplicando por obtemos o total para todos os mols.
Passo 3
Aplicando ao problema: a mistura tem duas porções que devem ser consideradas separadamente:
- Porção A:
mol, , será aquecida até . - Porção B:
mol, , já está à temperatura final — portanto sua contribuição de calor é nula porque .
Logo o calor total exigido é apenas o calor necessário para aquecer a porção A:
Passo 4
Calcule a integral indefinida. Integramos termo a termo:
porque
e
. Aqui
é constante de integração que some ao avaliar o intervalo.
Passo 5
Agora avaliamos a integral definida de
a
:
Calcule passo a passo:
Somando os dois termos obtemos o calor por mol:
Passo 6
Multiplicamos pelo número de mols da porção que precisa ser aquecida (
mol):
Interpretação:
significa que é necessário fornecer
ao sistema para que a mistura chegue a
.
Passo 7
Conversão para unidades do SI (opcional, útil na prova):
. Então