Em um tanque são misturados 200 mols de um líquido a 300 K e 100 mols do mesmo líquido a 500 K . Sabendo-se que o líquido é incompressível e sua capacidade calorífica é
C_{p}^{L} /\left(\mathrm{cal} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1}\right)=5+0,02 T / \mathrm{K}
calcule o calor envolvido para que a temperatura final no tanque seja de 500 K .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o calor necessário para que a mistura final no tanque atinja a temperatura de 500\\ \mathrm{K}. Informações dadas:
  • 200 mol do líquido estão a 300\\ \mathrm{K}.
  • 100 mol do mesmo líquido estão a 500\\ \mathrm{K}.
  • O líquido é incompressível.
  • A capacidade calorífica molar depende da temperatura e é dada por
C_{p}^{L}\\ /\left(\mathrm{cal}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}\right)=5+0,02\,T/\mathrm{K}.
  • Temperatura final desejada: T_{f}=500\\ \mathrm{K}.
O que temos que entregar: o valor do calor (positivo se for fornecido ao sistema) necessário para que a mistura chegue a 500\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Ideia física e fórmula a usar (explicada com calma): quando aquecemos uma quantidade n (em mols) de uma substância cuja capacidade calorífica molar C_{p}(T) depende da temperatura, o calor necessário para elevar sua temperatura de T_{i} até T_{f} é dado por
Q = n\int_{T_{i}}^{T_{f}} C_{p}(T)\,dT.
Explicando cada símbolo:
  • Q é o calor (em calorias, aqui, porque C_{p} está em \mathrm{cal}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}).
  • n é o número de mols da porção considerada.
  • C_{p}(T) é a capacidade calorífica molar como função da temperatura (aqui C_{p}(T)=5+0,02T).
  • T_{i} e T_{f} são temperatura inicial e final (em \mathrm{K}).
    Motivo físico simples: integrar C_{p}(T)\,dT soma os pequenos incrementos de energia necessários para aumentar a temperatura um pequeno dT; multiplicando por n obtemos o total para todos os mols.

Passo 3

Aplicando ao problema: a mistura tem duas porções que devem ser consideradas separadamente:
  • Porção A: n_{A}=200 mol, T_{A,i}=300\\ \mathrm{K}, será aquecida até T_{f}=500\\ \mathrm{K}.
  • Porção B: n_{B}=100 mol, T_{B,i}=500\\ \mathrm{K}, já está à temperatura final T_{f}=500\\ \mathrm{K} — portanto sua contribuição de calor é nula porque \int_{500}^{500}(\cdot)\,dT=0.
Logo o calor total exigido é apenas o calor necessário para aquecer a porção A:
Q = n_{A}\int_{300}^{500}\bigl(5+0,02T\bigr)\,dT.

Passo 4

Calcule a integral indefinida. Integramos termo a termo:
\int\bigl(5+0,02T\bigr)\,dT = \int 5\,dT + \int 0,02T\,dT = 5T + 0,01T^{2} + C,
porque \int T\,dT = \tfrac{1}{2}T^{2} e 0,02\times\tfrac{1}{2}=0,01. Aqui C é constante de integração que some ao avaliar o intervalo.

Passo 5

Agora avaliamos a integral definida de 300 a 500:
\int_{300}^{500}\bigl(5+0,02T\bigr)\,dT = \bigl[5T+0,01T^{2}\bigr]_{300}^{500}.
Calcule passo a passo:
5(500)-5(300)=5(500-300)=5\cdot200=1000\\ \mathrm{(cal\;mol^{-1})},
0,01\bigl(500^{2}-300^{2}\bigr)=0,01\bigl(250000-90000\bigr)=0,01\cdot160000=1600\\ \mathrm{(cal\;mol^{-1})}.
Somando os dois termos obtemos o calor por mol:
\int_{300}^{500}\bigl(5+0,02T\bigr)\,dT = 1000+1600=2600\\ \mathrm{cal\cdot mol^{-1}}.

Passo 6

Multiplicamos pelo número de mols da porção que precisa ser aquecida ( n_{A}=200 mol):
Q = 200\cdot 2600 = 520000\\ \mathrm{cal}.
Interpretação: Q>0 significa que é necessário fornecer 520{,}000\\ \mathrm{cal} ao sistema para que a mistura chegue a 500\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Conversão para unidades do SI (opcional, útil na prova): 1\\ \mathrm{cal}=4{,}184\\ \mathrm{J}. Então
Q = 520000\\ \mathrm{cal}\times 4{,}184\\ \mathrm{J/cal}=2{,}177{,}680\\ \mathrm{J}=2177{,}68\\ \mathrm{kJ}\approx 2{,}178\\ \mathrm{MJ}.

Resposta

Q=520{,}000\\ \mathrm{cal}
Q\approx2{,}177{,}680\\ \mathrm{J}=2177{,}68\\ \mathrm{kJ}

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