Uma coluna de madeira de seção quadrada 20 times 20 ( cm^2 ) com classe de resistência D50, sob uma umidade relativa de 70%, está sujeita aos seguintes esforços axiais de compressão:
Ng=52 kN (carga permanente);
Nq=65 kN (sobrecarga, com predominância de pesos e equipamentos fixos).
Verifique o ELU para:
L=2 m;
Considere uma classe de carregamento de longa duração; combinação de ações de construção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma coluna de madeira com seção quadrada de 20 cm por 20 cm, classe de resistência D50 e umidade relativa de 70%. Ela está sob dois tipos de cargas axiais de compressão: uma permanente de 52 kN e uma variável de 65 kN. A ideia aqui é verificar se essa coluna aguenta essas cargas no Estado Limite Último (ELU), considerando que elas podem durar bastante tempo e que estamos combinando ações de construção. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de resistência de materiais e normas de engenharia estrutural que tratam das combinações de cargas e verificações de segurança, tudo isso com um pouco de matemática usando fórmulas em LaTeX.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total que a coluna vai suportar. No ELU, a gente combina as cargas permanentes e variáveis usando fatores de segurança definidos pelas normas. Geralmente, para madeira, usamos:
Nd = gammaG cdot Ng + gammaQ cdot Nq
Onde:
  • $ \gamma_{G} $ é o fator de segurança para cargas permanentes
  • $ \gamma_{Q} $ é o fator de segurança para cargas variáveis

Passo 3

Antes de aplicar os fatores de segurança, vamos identificar quais são os valores típicos desses fatores para uma classe de carregamento de longa duração. Normalmente, para estruturas de madeira, consideramos:
gammaG = 1,35 e gammaQ = 1,5
Então, substituindo esses valores na nossa fórmula:
Nd = 1,35 cdot 52 kN + 1,5 cdot 65 kN

Passo 4

Agora vamos fazer as contas:
1,35 cdot 52 = 70,2 kN
1,5 cdot 65 = 97,5 kN
Nd = 70,2 + 97,5 = 167,7 kN
Então, a carga de projeto é de 167,7 kN.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se a coluna suporta essa carga. Para isso, calculamos a capacidade de carga resistente da coluna, considerando a classe de resistência D50 e as condições de umidade. A capacidade de carga ($ N_{Rd} $) pode ser calculada usando a fórmula:
NRd
Onde:
  • $ \sigma_{Rd} $ é a tensão de resistência do material
  • $ A $ é a área da seção transversal
  • $ \eta $ é um fator de eficiência estrutural

Passo 6

Para a madeira classe D50, a tensão de resistência característica ($ \sigma_{m, k} $) geralmente é em torno de 14,2 MPa. Considerando a umidade e outros fatores, vamos assumir que $ \sigma_{Rd} = 14 $ MPa para simplificar.
A área da seção transversal $ A $ é:
sigmam, k
E para uma coluna simples, $ \eta $ pode ser tomada como 1,0.
Então:
sigmaRd = 14

Passo 7

Agora comparamos a capacidade de resistência da coluna com a carga de projeto:
NRd = 560 kN & Nd = 167,7 kN
Como $ 560\ kN > 167,7\ kN $, a coluna está segura no Estado Limite Último.

Resposta

A coluna de madeira está adequadamente dimensionada e segura no Estado Limite Último, já que a capacidade resistente de 560 kN é maior que a carga de projeto de 167,7 kN.

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