Uma coluna de seção circular de eucalipto ( fc, 0 k=43,4 MPa, E=12,89 GPa ), com diâmetro de 16 cm, está sujeita aos seguintes esforços axiais de compressão:
Ngg=42 kN (carga permanente);
Nq=45 kN (sobrecarga, sem predominância de pesos e equipamentos fixos).
Verifique o ELU para:
L=3 m;
Considere k mod =0,56; classe de umidade 2; combinação normal de ações.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o enunciado está pedindo. Temos uma coluna circular de eucalipto com diâmetro de 16 cm, sujeita a dois tipos de cargas: uma permanente de 42 kN e uma sobrecarga de 45 kN. Nosso objetivo é verificar o Estado Limite Último (ELU) dessa coluna, ou seja, garantir que ela suporte essas cargas sem falhar. Para isso, vamos precisar usar conceitos de esforços axiais, resistência dos materiais e critérios de estabilidade estrutural, como o flambagem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga de projeto, que é a combinação das cargas permanentes e variáveis usando os fatores de segurança apropriados. Normalmente, para a combinação normal de ações, usamos um fator de 1,35 para cargas permanentes e 1,5 para cargas variáveis.
Então, a carga de projeto $ N_{Rd} $ é:
NRd
Substituindo os valores:
NRd = 1,35 times Ng + 1,5 times Nq

Passo 3

Vamos calcular cada parte:
1,35 times 42 = 56,7, kN
1,5 times 45 = 67,5, kN
Somando:
NRd = 56,7 + 67,5 = 124,2, kN

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a coluna suporta essa carga de projeto. Para isso, vamos calcular a resistência da coluna usando a fórmula da resistência à compressão:
Ne = fc,0k times A
Onde:
  • $ f_{c,0k} = 43,4, MPa $ é a resistência característica da madeira.
  • $ A $ é a área da seção transversal da coluna.
Primeiro, vamos calcular a área $ A $:
fc,0k = 43,4, MPa
Com $ d = 16, cm = 0,16, m $:
A

Passo 5

Agora, calculamos a resistência à compressão:
Ne = 43,4, MPa times 0,0201, m^2 = 43,4 times 10^6, N/m^2 times 0,0201, m^2 approx 872340, N approx 872,34, kN

Passo 6

Comparando a resistência $ N_{e} = 872,34, kN $ com a carga de projeto $ N_{Rd} = 124,2, kN $, vemos que:
Ne = 872,34, kN
Isso indica que a coluna, em termos de resistência à compressão simples, está adequada.

Passo 7

Agora, precisamos verificar se a coluna está sujeita a flambagem, ou seja, se a sua altura e rigidez podem levar a uma falha por instabilidade. Para isso, usamos o comprimento efetivo $ L $, o módulo de rigidez $ E $ e o fator de esbeltez $ k_{mod} $.
A fórmula para o comprimento efetivo é:
L
Com $ k_{mod} = 0,56 $ e $ L = 3, m $:
E

Passo 8

Calculamos o momento de inércia $ I $ da seção circular:
I
Com $ d = 0,16, m $:
I = pi times d^464

Passo 9

A resistência à flambagem $ f_{flamb} $ é dada por:
fflamb
Substituindo os valores:
fflamb = pi^2 times E times I(Le)^2

Passo 10

Calculando passo a passo:
pi^2 approx 9,87
9,87 times 12,89 times 10^9 times 3,277 times 10^-4 approx 4,169 times 10^7, N/m^2
(1,68)^2 = 2,8224, m^2
fflamb = 4,169 times 10^72,8224 approx 1,476 times 10^7, Pa = 14,76, MPa

Passo 11

Comparamos $ f_{flamb} = 14,76, MPa $ com $ f_{c,0k} = 43,4, MPa $. Como $ 14,76, MPa < 43,4, MPa $, a coluna está segura contra flambagem.

Resposta

A coluna de eucalipto analisada atende aos requisitos do Estado Limite Último, suportando as cargas aplicadas sem risco de falha por compressão ou flambagem.

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