Compare a perda de carga em dois tubos de mesmo comprimento ( \mathrm{L}=100 \mathrm{~m} ), transportando a mesma vazão, mas com diâmetros diferentes: \mathrm{D}_{1}=150 \mathrm{~mm} e \mathrm{D}_{2}=200 \mathrm{~mm}. Assuma \mathrm{f}=0,020 para ambos e \mathrm{Q}=30 \mathrm{~L} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede para comparar a perda de carga em dois tubos de mesmo comprimento conduzindo a mesma vazão, com os seguintes dados fornecidos:
  • Comprimento: L=100\\ \text{m}.
  • Diâmetros: D_1=150\\ \text{mm} e D_2=200\\ \text{mm}. (Vou converter para metros quando for usar.)
  • Coeficiente de atrito: f=0{,}020 (para ambos).
  • Vazão: Q=30\\ \text{L/s}.
    As perguntas implícitas são: calcular a perda de carga (em metros de coluna d’água) para cada tubo e comparar (razão/quantas vezes uma é maior que a outra). Também vou apresentar a perda de pressão correspondente (em Pa ou kPa) para entendimento físico.

Passo 2

Transformações de unidades e fórmulas que usarei (o que cada símbolo significa):
  • Converter vazão para unidades SI: Q=30\\ \text{L/s}=0{,}03\\ \text{m}^3/\text{s}.
  • Converter diâmetros para metros: D_1=0{,}150\\ \text{m}, D_2=0{,}200\\ \text{m}.
  • Área da seção transversal (círculo): A=\dfrac{\pi D^2}{4}, onde A é em \text{m}^2.
  • Velocidade média no tubo: V=\dfrac{Q}{A}, onde V é em \text{m/s}.
  • Fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga em altura (perda de carga hidráulica) em metros:
h_f = f\;\frac{L}{D}\;\frac{V^2}{2g},
onde h_f é a perda de carga em metros, f é o fator de atrito adimensional, L e D em metros, V em \text{m/s} e g=9{,}81\\ \text{m/s}^2 é a aceleração da gravidade.
  • Perda de pressão correspondente: \Delta p = \rho g h_f, com \rho\simeq1000\\ \text{kg/m}^3 para água.

Passo 3

Calcular as áreas A_1 e A_2:
A_1 = \frac{\pi D_1^2}{4} = \frac{\pi(0{,}150)^2}{4} = \pi\cdot 0{,}005625 \approx 0{,}017672\\ \text{m}^2.
A_2 = \frac{\pi D_2^2}{4} = \frac{\pi(0{,}200)^2}{4} = \pi\cdot 0{,}01 \approx 0{,}031416\\ \text{m}^2.

Passo 4

Calcular as velocidades médias V_1 e V_2:
V_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0{,}03}{0{,}017672} \approx 1{,}6976\\ \text{m/s}.
V_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{0{,}03}{0{,}031416} \approx 0{,}9549\\ \text{m/s}.
Comentário rápido e amigável: veja que tubo menor → área menor → velocidade maior. Isso já aponta para perda de carga maior no tubo menor.

Passo 5

Calcular a parcela dinâmica \dfrac{V^2}{2g} para cada tubo:
\frac{V_1^2}{2g} = \frac{(1{,}6976)^2}{2\cdot 9{,}81} = \frac{2{,}882}{19{,}62} \approx 0{,}14695\\ \text{m}.
\frac{V_2^2}{2g} = \frac{(0{,}9549)^2}{2\cdot 9{,}81} = \frac{0{,}9119}{19{,}62} \approx 0{,}04651\\ \text{m}.

Passo 6

Aplicar Darcy–Weisbach para obter h_{f1} e h_{f2}:
h_{f1} = f\;\frac{L}{D_1}\;\frac{V_1^2}{2g} = 0{,}020\cdot\frac{100}{0{,}150}\cdot 0{,}14695 = 0{,}020\cdot 666{,}6667\cdot 0{,}14695 \approx 1{,}959\\ \text{m}.
h_{f2} = f\;\frac{L}{D_2}\;\frac{V_2^2}{2g} = 0{,}020\cdot\frac{100}{0{,}200}\cdot 0{,}04651 = 0{,}020\cdot 500\cdot 0{,}04651 \approx 0{,}4651\\ \text{m}.
Interpretação: o tubo de diâmetro 150\\ \text{mm} tem perda de carga aproximadamente 1{,}96\\ \text{m}, enquanto o de 200\\ \text{mm} tem cerca de 0{,}465\\ \text{m}. O menor tubo perde muito mais.

Passo 7

Calcular a perda de pressão correspondente (assumindo água, \rho=1000\\ \text{kg/m}^3):
\Delta p_1 = \rho g h_{f1} = 1000\cdot 9{,}81\cdot 1{,}959 \approx 19{,}22\times 10^{3}\\ \text{Pa} \approx 19{,}2\\ \text{kPa}.
\Delta p_2 = \rho g h_{f2} = 1000\cdot 9{,}81\cdot 0{,}4651 \approx 4{,}56\times 10^{3}\\ \text{Pa} \approx 4{,}56\\ \text{kPa}.

Passo 8

Comparação numérica e relação com o diâmetro:
  • Razão das perdas de carga em altura:
\frac{h_{f1}}{h_{f2}} \approx \frac{1{,}959}{0{,}4651} \approx 4{,}21.
Ou seja, o tubo de D_1=150\\ \text{mm} tem perda de carga cerca de 4{,}21 vezes maior que o de D_2=200\\ \text{mm}.
  • Observação teórica útil: usando V=\dfrac{4Q}{\pi D^2} e substituindo em Darcy–Weisbach obtém-se a dependência
h_f = f L \frac{8 Q^2}{\pi^2 g}\frac{1}{D^5},
logo para vazão fixa h_f\propto \dfrac{1}{D^5}. Isso explica por que uma pequena mudança no diâmetro gera grande variação na perda de carga (a potência 5 é bem sensível).

Resposta

h_{f1}\approx 1{,}96\\ \text{m} (para D_1=150\\ \text{mm})
\Delta p_1\approx 19{,}2\\ \text{kPa} (para D_1=150\\ \text{mm})
h_{f2}\approx 0{,}465\\ \text{m} (para D_2=200\\ \text{mm})
\Delta p_2\approx 4{,}56\\ \text{kPa} (para D_2=200\\ \text{mm})
Razão h_{f1}/h_{f2}\approx 4{,}21.