A compressão em múltiplos estágios com resfriamento intermediário é uma forma de minimizar o trabalho consumido por compressores. Nesse processo, o gás é comprimido no primeiro estágio de P_{1} até uma pressão intermediária P_{x}, resfriado a uma pressão constante até a temperatura inicial T_{1} e comprimido no segundo estágio até a pressão final T_{2}. O trabalho de compressão economizado varia de acordo com a pressão intermediária \mathrm{P}_{\mathrm{x}}. Considerando uma compressão politrópica ( \mathrm{PV}^{\mathrm{n}}= constante), nos quais os valores de n variam entre k e 1:
A) Determine a expressão para o trabalho de compressão total.
B) Prove que o menor trabalho será obtido quando P_{x}=\left(P_{1} \cdot P_{2}\right)^{1 / 2}

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar bem claro para a gente não se perder):
  • Dados fornecidos:
    • Pressão inicial: P_{1}.
    • Pressão intermediária (após primeiro estágio): P_{x}.
    • Pressão final: P_{2}.
    • Temperatura inicial (antes do primeiro estágio): T_{1}.
    • Após o primeiro estágio o gás é resfriado à pressão constante P_{x} de volta à temperatura T_{1}.
    • A compressão em cada estágio é politrópica, obedecendo \mathrm{PV}^{n}= constante, com o expoente n tal que 1\le n\le k (ou seja, n está entre 1 e k).
    • Podemos usar a equação dos gases ideais por unidade de massa com constante específica R: \mathrm{P}\mathrm{V}=R\mathrm{T}.
  • O que o enunciado pede:
    A) Determinar a expressão do trabalho total de compressão (soma dos trabalhos dos dois estágios).
    B) Provar que o trabalho total é mínimo quando \displaystyle P_{x}=\sqrt{P_{1}\,P_{2}}.
Observações importantes que vou usar (não estou resolvendo aqui, só listando o que vale):
  • O resfriamento intermediário é feito à pressão constante P_{x} e devolve a temperatura para T_{1} antes do segundo estágio.
  • Estamos interessados no trabalho de compressão (o trabalho realizado pelos compressores), portanto o passo de resfriamento não entra como trabalho de compressão (é troca de calor e trabalho externo do gás durante resfriamento, mas não é trabalho do compressor).
  • Vou fornecer a expressão por unidade de massa (usar R como constante específica). Se quiser o trabalho total para uma massa m, basta multiplicar por m.

Passo 2

Entender a relação termo-mecânica útil para um processo politrópico e como ligar pressões e temperaturas.
  • Para um processo politrópico com gás ideal e expoente n vale
P V^{n}=\text{constante}.
  • Usando P V = R T (por unidade de massa), podemos eliminar V. Do polytropic:
P V^{n}=\text{const}\quad\Rightarrow\quad (R T/V)\,V^{n}=R\,T\,V^{\,n-1}=\text{const}.
Logo
T V^{\,n-1}=\text{constante}
e, entre dois estados 1 e 2,
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\,n-1}.
Mas também de P V^{n}= const obtemos \displaystyle \frac{P_{2}}{P_{1}}=\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{n}. Substituindo,
\frac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\frac{P_{2}}{P_{1}}\right)^{\frac{n-1}{n}}.
Essa relação é muito prática: dado P-inicial e P-final de um politrópico, relaciona diretamente as temperaturas.

Passo 3

Derivar a fórmula do trabalho para um processo politrópico (por unidade de massa) — aula rápida e necessária.
  • O trabalho de um processo quasi-estático entre estados 1 e 2 é
W=\int_{1}^{2} P\,dV.
  • Para politrópico P= C V^{-n} com C constante. Então
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} C V^{-n}\,dV = \left.\frac{C}{1-n}V^{1-n}\right|_{V_{1}}^{V_{2}} = \frac{C}{1-n}\left(V_{2}^{1-n}-V_{1}^{1-n}\right).
  • Como C=P_{1}V_{1}^{n}=P_{2}V_{2}^{n}, multiplicando e dividindo convenientemente chegamos à forma conhecida
W=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-n}.
  • Usando P V = R T (por unidade de massa) isso fica mais simples e muito útil:
W=\frac{R(T_{2}-T_{1})}{1-n}.
Comentário didático: essa forma é prática porque transforma a integral numa diferença de temperaturas multiplicada por constantes; note que o sinal depende de 1-n, e se n>1 o denominador é negativo — o que é consistente com o fato de T_{2}>T_{1} numa compressão (o trabalho é positivo quando o compressor faz trabalho sobre o fluido).

Passo 4

Aplicar a fórmula do Passo 3 ao primeiro estágio de compressão (de P_{1},T_{1} para P_{x},T_{x}).
  • Pela relação do Passo 2,
T_{x}=T_{1}\left(\frac{P_{x}}{P_{1}}\right)^{\frac{n-1}{n}}.
  • Portanto o trabalho do primeiro estágio (por unidade de massa) é, usando W=(R(T_{2}-T_{1}))/(1-n),
W_{1}=\frac{R\bigl(T_{x}-T_{1}\bigr)}{1-n} = \frac{R T_{1}}{1-n}\left[\left(\frac{P_{x}}{P_{1}}\right)^{\frac{n-1}{n}}-1\right].
Explicando: primeiro achei a temperatura final T_x do estágio 1 usando a lei politrópica + gás ideal; depois apliquei a fórmula do trabalho para o politrópico.

Passo 5

Entender o efeito do resfriamento intermédio e por que ele não entra no trabalho de compressão.
  • Após o primeiro estágio o gás é resfriado à pressão constante P_{x} até a temperatura T_{1}. Esse resfriamento faz o gás perder calor e o volume mudar; entretanto, o trabalho exercido pelo compressor é somente o trabalho das compressões. O processo de resfriamento entre estágios não requer trabalho do compressor (o trabalho de P\,dV durante o resfriamento é realizado pelo gás sobre o entorno, não pelo compressor). Logo, para o trabalho total dos compressores só somamos os trabalhos dos dois estágios:
W_{\text{total}}=W_{1}+W_{2}.

Passo 6

Aplicar a fórmula ao segundo estágio (compressão de P_{x},T_{1} para P_{2},T_{2}).
  • O segundo estágio parte de temperatura T_{1} e pressão P_{x}. Usando a relação do Passo 2,
T_{2}=T_{1}\left(\frac{P_{2}}{P_{x}}\right)^{\frac{n-1}{n}}.
  • O trabalho do segundo estágio (por unidade de massa) é
W_{2}=\frac{R\bigl(T_{2}-T_{1}\bigr)}{1-n} = \frac{R T_{1}}{1-n}\left[\left(\frac{P_{2}}{P_{x}}\right)^{\frac{n-1}{n}}-1\right].

Passo 7

Somar os dois trabalhos para obter a expressão total do trabalho (parte A pedida).
  • Somando W_{1} e W_{2}:
W_{\text{total}}=W_{1}+W_{2} = \frac{R T_{1}}{1-n}\left[\left(\frac{P_{x}}{P_{1}}\right)^{\frac{n-1}{n}}-1\right] + \frac{R T_{1}}{1-n}\left[\left(\frac{P_{2}}{P_{x}}\right)^{\frac{n-1}{n}}-1\right].
  • Agrupando termos:
W_{\text{total}}=\frac{R T_{1}}{1-n}\left[\left(\frac{P_{x}}{P_{1}}\right)^{\frac{n-1}{n}} + \left(\frac{P_{2}}{P_{x}}\right)^{\frac{n-1}{n}} - 2\right].
Essa é a expressão do trabalho total por unidade de massa (se precisar do trabalho para massa m, multiplique por m).

Passo 8

Preparar a função a ser minimizada em P_{x} (parte B pede o P_{x} que minimiza).
  • Como \displaystyle \frac{R T_{1}}{1-n} e o -2 final são constantes indep. de P_{x}, minimizar W_{\text{total}} em P_{x} equivale a minimizar a função positiva
f(P_{x})=\left(\frac{P_{x}}{P_{1}}\right)^{a}+\left(\frac{P_{2}}{P_{x}}\right)^{a},
onde eu defini
a=\frac{n-1}{n}.
Observação: para 1\le n\le k temos 0\le a<1, portanto a>0. Minimizar f(P_x) é suficiente para minimizar W_{\text{total}}.

Passo 9

Fazer a minimização por derivada — cálculo explícito e didático.
  • Escrevo f(P_{x}) de forma conveniente:
f(P_{x})=P_{1}^{-a}\,P_{x}^{a}+P_{2}^{a}\,P_{x}^{-a}.
  • Derivando com respeito a P_{x}:
\frac{df}{dP_{x}} = a\,P_{1}^{-a}\,P_{x}^{a-1} - a\,P_{2}^{a}\,P_{x}^{-a-1}.
  • Igualando a zero para encontrar extremos:
a\,P_{1}^{-a}\,P_{x}^{a-1} - a\,P_{2}^{a}\,P_{x}^{-a-1}=0.
  • Cancelando a (que é positivo) e multiplicando por P_{x}^{a+1}:
P_{1}^{-a}\,P_{x}^{2a} = P_{2}^{a}.
  • Isolando P_{x}^{2a}:
P_{x}^{2a}=P_{1}^{a}P_{2}^{a}=(P_{1}P_{2})^{a}.
  • Como a>0, aplicando a potência 1/a em ambos os lados:
P_{x}^{2} = P_{1}P_{2}.
  • Logo a solução positiva fisicamente admissível é
\boxed{P_{x}=\sqrt{P_{1}P_{2}}.}

Passo 10

Verificar que essa condição dá mínimo (não máximo) — um pequeno cheque da segunda derivada ou argumento da simetria/AM-GM.
  • Calculo rápido da segunda derivada para confirmar positividade no ponto crítico:
\frac{d^{2}f}{dP_{x}^{2}}=a(a-1)P_{1}^{-a}P_{x}^{a-2}+a(a+1)P_{2}^{a}P_{x}^{-a-2}.
No ponto P_{x}=\sqrt{P_{1}P_{2}} ambos os termos são finitos e o segundo termo (proporcional a a(a+1)) é positivo; embora o primeiro termo tenha a(a-1) negativo porque a<1, a soma fica positiva para a>0. Alternativamente, um argumento mais simples por desigualdade AM-GM: para números positivos X e Y e expoente a>0,
X^{a}+Y^{a}\ge 2(X^{a}Y^{a})^{1/2}=2(XY)^{a/2}
com igualdade quando X^{a}=Y^{a}\Rightarrow X=Y. Tomando X=\dfrac{P_{x}}{P_{1}} e Y=\dfrac{P_{2}}{P_{x}} a condição X=Y dá exatamente P_{x}=\sqrt{P_{1}P_{2}} e garante que é mínimo. Esse argumento é mais direto e elegante.

Passo 11

Conclusão final, interpretação e comentário prático (motivações).
  • Portanto, o trabalho total de compressão por unidade de massa é
W_{\text{total}}=\frac{R T_{1}}{1-n}\left[\left(\frac{P_{x}}{P_{1}}\right)^{\frac{n-1}{n}} + \left(\frac{P_{2}}{P_{x}}\right)^{\frac{n-1}{n}} - 2\right],
e esse trabalho é minimizado quando
P_{x}=\sqrt{P_{1}P_{2}}.
  • Comentário amigo: percebe como a melhor pressão intermediária é a média geométrica entre P_{1} e P_{2}? Isso aparece porque as duas etapas ficam “simétricas” quando o ponto intermediário é o geométrico, e a função que somamos tem essa forma de potências inversas. Esse resultado é típico em compressões com resfriamento ótimo e independe do expoente n (desde que n>0), por isso é robusto.

Resposta

W_{\text{total}}=\frac{R T_{1}}{1-n}\left[\left(\frac{P_{x}}{P_{1}}\right)^{\frac{n-1}{n}} + \left(\frac{P_{2}}{P_{x}}\right)^{\frac{n-1}{n}} - 2\right].
P_{x}=\sqrt{P_{1}P_{2}}.

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