A compressão em múltiplos estágios com resfriamento intermediário é uma forma de minimizar o trabalho consumido por compressores. Nesse processo, o gás é comprimido no primeiro estágio de P_{1} até uma pressão intermediária P_{x}, resfriado a uma pressão constante até a temperatura inicial T_{1} e comprimido no segundo estágio até a pressão final T_{2}. O trabalho de compressão economizado varia de acordo com a pressão intermediária \mathrm{P}_{\mathrm{x}}. Considerando uma compressão politrópica ( \mathrm{PV}^{\mathrm{n}}= constante), nos quais os valores de n variam entre k e 1:
A) Determine a expressão para o trabalho de compressão total.
B) Prove que o menor trabalho será obtido quando P_{x}=\left(P_{1} \cdot P_{2}\right)^{1 / 2}
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar bem claro para a gente não se perder):
Dados fornecidos:
Pressão inicial: P_{1}.
Pressão intermediária (após primeiro estágio): P_{x}.
Pressão final: P_{2}.
Temperatura inicial (antes do primeiro estágio): T_{1}.
Após o primeiro estágio o gás é resfriado à pressão constante P_{x} de volta à temperatura T_{1}.
A compressão em cada estágio é politrópica, obedecendo \mathrm{PV}^{n}= constante, com o expoente n tal que 1\le n\le k (ou seja, n está entre 1 e k).
Podemos usar a equação dos gases ideais por unidade de massa com constante específica R: \mathrm{P}\mathrm{V}=R\mathrm{T}.
O que o enunciado pede:
A) Determinar a expressão do trabalho total de compressão (soma dos trabalhos dos dois estágios).
B) Provar que o trabalho total é mínimo quando \displaystyle P_{x}=\sqrt{P_{1}\,P_{2}}.
Observações importantes que vou usar (não estou resolvendo aqui, só listando o que vale):
O resfriamento intermediário é feito à pressão constante P_{x} e devolve a temperatura para T_{1} antes do segundo estágio.
Estamos interessados no trabalho de compressão (o trabalho realizado pelos compressores), portanto o passo de resfriamento não entra como trabalho de compressão (é troca de calor e trabalho externo do gás durante resfriamento, mas não é trabalho do compressor).
Vou fornecer a expressão por unidade de massa (usar R como constante específica). Se quiser o trabalho total para uma massa m, basta multiplicar por m.
Passo 2
Entender a relação termo-mecânica útil para um processo politrópico e como ligar pressões e temperaturas.
Para um processo politrópico com gás ideal e expoente n vale
P V^{n}=\text{constante}.
Usando P V = R T (por unidade de massa), podemos eliminar V. Do polytropic:
P V^{n}=\text{const}\quad\Rightarrow\quad (R T/V)\,V^{n}=R\,T\,V^{\,n-1}=\text{const}.
Essa relação é muito prática: dado P-inicial e P-final de um politrópico, relaciona diretamente as temperaturas.
Passo 3
Derivar a fórmula do trabalho para um processo politrópico (por unidade de massa) — aula rápida e necessária.
O trabalho de um processo quasi-estático entre estados 1 e 2 é
W=\int_{1}^{2} P\,dV.
Para politrópico P= C V^{-n} com C constante. Então
W=\int_{V_{1}}^{V_{2}} C V^{-n}\,dV = \left.\frac{C}{1-n}V^{1-n}\right|_{V_{1}}^{V_{2}} = \frac{C}{1-n}\left(V_{2}^{1-n}-V_{1}^{1-n}\right).
Como C=P_{1}V_{1}^{n}=P_{2}V_{2}^{n}, multiplicando e dividindo convenientemente chegamos à forma conhecida
W=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-n}.
Usando P V = R T (por unidade de massa) isso fica mais simples e muito útil:
W=\frac{R(T_{2}-T_{1})}{1-n}.
Comentário didático: essa forma é prática porque transforma a integral numa diferença de temperaturas multiplicada por constantes; note que o sinal depende de 1-n, e se n>1 o denominador é negativo — o que é consistente com o fato de T_{2}>T_{1} numa compressão (o trabalho é positivo quando o compressor faz trabalho sobre o fluido).
Passo 4
Aplicar a fórmula do Passo 3 ao primeiro estágio de compressão (de P_{1},T_{1} para P_{x},T_{x}).
Explicando: primeiro achei a temperatura final T_x do estágio 1 usando a lei politrópica + gás ideal; depois apliquei a fórmula do trabalho para o politrópico.
Passo 5
Entender o efeito do resfriamento intermédio e por que ele não entra no trabalho de compressão.
Após o primeiro estágio o gás é resfriado à pressão constante P_{x} até a temperatura T_{1}. Esse resfriamento faz o gás perder calor e o volume mudar; entretanto, o trabalho exercido pelo compressor é somente o trabalho das compressões. O processo de resfriamento entre estágios não requer trabalho do compressor (o trabalho de P\,dV durante o resfriamento é realizado pelo gás sobre o entorno, não pelo compressor). Logo, para o trabalho total dos compressores só somamos os trabalhos dos dois estágios:
W_{\text{total}}=W_{1}+W_{2}.
Passo 6
Aplicar a fórmula ao segundo estágio (compressão de P_{x},T_{1} para P_{2},T_{2}).
O segundo estágio parte de temperatura T_{1} e pressão P_{x}. Usando a relação do Passo 2,
Essa é a expressão do trabalho total por unidade de massa (se precisar do trabalho para massa m, multiplique por m).
Passo 8
Preparar a função a ser minimizada em P_{x} (parte B pede o P_{x} que minimiza).
Como \displaystyle \frac{R T_{1}}{1-n} e o -2 final são constantes indep. de P_{x}, minimizar W_{\text{total}} em P_{x} equivale a minimizar a função positiva
No ponto P_{x}=\sqrt{P_{1}P_{2}} ambos os termos são finitos e o segundo termo (proporcional a a(a+1)) é positivo; embora o primeiro termo tenha a(a-1) negativo porque a<1, a soma fica positiva para a>0. Alternativamente, um argumento mais simples por desigualdade AM-GM: para números positivos X e Y e expoente a>0,
X^{a}+Y^{a}\ge 2(X^{a}Y^{a})^{1/2}=2(XY)^{a/2}
com igualdade quando X^{a}=Y^{a}\Rightarrow X=Y. Tomando X=\dfrac{P_{x}}{P_{1}} e Y=\dfrac{P_{2}}{P_{x}} a condição X=Y dá exatamente P_{x}=\sqrt{P_{1}P_{2}} e garante que é mínimo. Esse argumento é mais direto e elegante.
Passo 11
Conclusão final, interpretação e comentário prático (motivações).
Portanto, o trabalho total de compressão por unidade de massa é
Comentário amigo: percebe como a melhor pressão intermediária é a média geométrica entre P_{1} e P_{2}? Isso aparece porque as duas etapas ficam “simétricas” quando o ponto intermediário é o geométrico, e a função que somamos tem essa forma de potências inversas. Esse resultado é típico em compressões com resfriamento ótimo e independe do expoente n (desde que n>0), por isso é robusto.