Gás hélio é comprimido por um compressor adiabático a um estado inicial de 14 psia e 50^{\circ} \mathrm{F} até atingir uma temperatura final de 350^{\circ} \mathrm{F} de maneira reversível. Determine a pressão de saída do hélio.

Passo 1

O enunciado diz que hélio é comprimido de forma adiabática e reversível (ou seja, sem trocas de calor e de maneira reversível) desde um estado inicial com pressão P_1 e temperatura T_1 até um estado final com temperatura T_2. O que se pede é a pressão final P_2.
Dados fornecidos (vou listar explicitamente):
P_1 = 14\\ \text{psia}
T_1 = 50^\circ\mathrm{F}
T_2 = 350^\circ\mathrm{F}
O objetivo final: determinar P_2.

Passo 2

Modelo físico e hipóteses (muito importantes para saber que fórmula usar). O processo é adiabático e reversível. Para um gás ideal, um processo adiabático reversível é isentrópico (entropia constante). Hélio pode ser tratado como um gás ideal monoatômico razoavelmente bem nas temperaturas dadas. Para um gás ideal monoatômico temos relações simples envolvendo a razão de calores k, definida por
k=\frac{c_p}{c_v}.
Para um gás monoatômico ideal, as capacidades molares ideais valem c_v=\tfrac{3}{2}R e c_p=\tfrac{5}{2}R, logo
k=\frac{5/2}{3/2}=\frac{5}{3}\approx 1{,}6667.
Explico rapidamente o que são c_p e c_v: c_v é a capacidade calorífica a volume constante (quanto de energia por unidade de temperatura precisa entrar para elevar a temperatura mantendo o volume), c_p é a capacidade a pressão constante. A razão k aparece nas leis dos processos adiabáticos/isentrópicos.

Passo 3

Relação isentrópica (a fórmula que vamos usar) e derivação curta. Para um gás ideal e processo isentrópico valem as relações
P V^k=\text{constante} \qquad\text{e}\qquad T V^{k-1}=\text{constante}.
A partir dessas duas podemos eliminar V e obter a relação entre P e T:
\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{k-1}{k}}.
Isolando P_2 obtemos a forma prática que usaremos:
\boxed{P_2 = P_1\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{k}{k-1}}.}
Vou usar essa equação com k=\tfrac{5}{3}.

Passo 4

Converter temperaturas de ^\circ\mathrm{F} para escala absoluta ^\circ\mathrm{R} (Rankine). Sempre que trabalhar com leis termodinâmicas que envolvem razões de temperatura do gás ideal, é obrigatório usar escala absoluta.
A conversão é
T\;(^\circ\mathrm{R}) = T\;(^\circ\mathrm{F}) + 459{,}67.
Logo:
T_1 = 50 + 459{,}67 = 509{,}67\\ \mathrm{R}
T_2 = 350 + 459{,}67 = 809{,}67\\ \mathrm{R}

Passo 5

Substituir na fórmula e calcular passo a passo.
Primeiro, a razão de temperaturas:
\frac{T_2}{T_1}=\frac{809{,}67}{509{,}67}\approx 1{,}5894.
O expoente \dfrac{k}{k-1} para k=\dfrac{5}{3} é
\frac{k}{k-1}=\frac{5/3}{5/3-1}=\frac{5/3}{2/3}=\frac{5}{2}=2{,}5.
Agora elevamos a razão de temperaturas a 2{,}5:
\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{2{,}5} \approx 1{,}5894^{2{,}5}\approx 3{,}183.
(Para conferir mentalmente: 1{,}5894^2\approx 2{,}525 e \sqrt{1{,}5894}\approx 1{,}261, produto \approx 3{,}183.)
Finalmente,
P_2 = P_1\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{2{,}5} \approx 14 \times 3{,}183 \approx 44{,}56\\ \text{psia}.
Arredondando de forma prática (duas casas significativas compatíveis com os dados):
P_2 \approx 44{,}6\\ \text{psia}.

Passo 6

Observações finais e justificativa breve (só para sua segurança): usei a hipótese de gás ideal e k=5/3 válida para hélio monoatômico. Em problemas de prova isso é o procedimento padrão; se fosse necessário mais precisão (por exemplo em alta pressão onde o gás não é ideal), precisaríamos de propriedades reais do hélio, mas para este enunciado a aproximação é adequada. Força aí — você conseguiu ir até aqui!

Resposta

\;44{,}6\\ \text{psia}

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