1 Um compressor de um ciclo Brayton modelado como adiabático trabalhará em regime permanente com eficiència isentrópica de 85 \%. Um fluxo de 5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de ar, medido na entrada, entrará no compressor com temperatura 320 K e pressão 350 kPa e sofrerá uma compressão até atingir a pressão 1200 kPa . Considere um ambiente com temperatura 300 K e pressão 100 kPa e estime ( 3,0 \mathrm{pts}.):
(a) O fluxo de massa de ar: \mathrm{kg} / \mathrm{s};
(b) A temperatura de saída do ar: kW ;
(c) A potencia consumida pelo compressor: kW ;
(d) A diferença de exergia de fluxo entre a entrada e a saída: kW ;
(e) A taxa de destruição de exergia: kW ;
(f) A eficiência exergética do compressor: %.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades (a)–(f).
Dados (retirados do enunciado):
\dot V_1 = 5\\ \mathrm{m^{3}/s},\quad T_1 = 320\\ \mathrm{K},\quad p_1 = 350\\ \mathrm{kPa},
p_2 = 1200\\ \mathrm{kPa},\quad \eta_{is}=85\%=0,85,
T_0 = 300\\ \mathrm{K},\quad p_0 = 100\\ \mathrm{kPa}.
Questões:
(a) calcular o fluxo de massa \dot m em \mathrm{kg/s};
(b) calcular a temperatura de saída real T_2 em \mathrm{K};
(c) potência consumida pelo compressor \dot W em \mathrm{kW};
(d) diferença de exergia de fluxo entre entrada e saída (taxa) em \mathrm{kW};
(e) taxa de destruição de exergia em \mathrm{kW};
(f) eficiência exergética do compressor em \%.
Observação prática que vou usar nas contas (não pede para você responder): vou assumir ar como gás ideal com propriedades constantes próximas do ambiente:
R = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad c_p = 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\quad \gamma=1{,}4.

Passo 2

Cálculo do fluxo de massa \dot m a partir do vazão volumétrica na entrada.
Fórmula usada (lei dos gases ideais):
p_1 = \rho_1 R T_1 \quad\Rightarrow\quad \rho_1=\dfrac{p_1}{R T_1}.
Como foi dada a vazão volumétrica \dot V_1, temos
\dot m = \rho_1 \dot V_1.
Substituindo números (lembre que converto kPa para Pa: 1\\ \mathrm{kPa}=1000\\ \mathrm{Pa}):
\rho_1=\dfrac{350000}{287\cdot 320}=\dfrac{350000}{91840}\approx 3{,}8107\\ \mathrm{kg/m^3},
\dot m = 3{,}8107\cdot 5 \approx 19{,}05\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

Cálculo da temperatura de saída no processo isentrópico ideal T_{2s}.
Para um gás ideal com \gamma constante, a relação isentrópica entre temperaturas e pressões é
\dfrac{T_{2s}}{T_1}=\left(\dfrac{p_2}{p_1}\right)^{\!\frac{\gamma-1}{\gamma}}.
Calcule a razão de pressão:
\pi = \dfrac{p_2}{p_1}=\dfrac{1200}{350}\approx 3{,}4286.
O expoente é \dfrac{\gamma-1}{\gamma}=\dfrac{0{,}4}{1{,}4}=0{,}285714\ldots.
Logo
T_{2s}=320\cdot \pi^{0{,}285714}\approx 320\cdot 1{,}4228 \approx 455{,}29\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Cálculo da temperatura de saída real T_2 usando a eficiência isentrópica.
Definição de eficiência isentrópica para compressor:
\eta_{is}=\dfrac{h_{2s}-h_1}{h_2-h_1}=\dfrac{c_p(T_{2s}-T_1)}{c_p(T_2-T_1)} =\dfrac{T_{2s}-T_1}{T_2-T_1}.
Despejando T_2:
T_2 = T_1 + \dfrac{T_{2s}-T_1}{\eta_{is}}.
Substituindo valores:
T_2 = 320 + \dfrac{455{,}29-320}{0{,}85}=320 + \dfrac{135{,}29}{0{,}85} =320 + 159{,}16 \approx 479{,}16\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Cálculo da potência consumida pelo compressor \dot W.
Para um compressor adiabático (sem calor trocado) em regime permanente, a potência mecânica fornecida ao fluido é dada pela variação de entalpia do fluxo:
\dot W = \dot m\, c_p (T_2-T_1).
Substituindo os valores:
\Delta T = T_2-T_1 = 159{,}16\\ \mathrm{K},
\dot W = 19{,}0537\cdot 1005\cdot 159{,}16 \approx 3{,}047{,}750\\ \mathrm{W}\approx 3047{,}8\\ \mathrm{kW}.
(Arredondei mantendo três algarismos significativos.)

Passo 6

Cálculo da exergia específica de fluxo \psi (por kg) na entrada e saída.
Conceito rápido: a exergia de fluxo específica não-química de um fluido, em relação ao estado morto (T_0,p_0), é
\psi = (h-h_0)-T_0(s-s_0).
Para ar ideal com h=c_p T e s-s_0 = c_p\ln\!\dfrac{T}{T_0}-R\ln\!\dfrac{p}{p_0}, obtemos a forma prática:
\psi = c_p\Big(T-T_0 - T_0\ln\frac{T}{T_0}\Big) + T_0 R \ln\frac{p}{p_0}.
Aqui c_p e R têm as unidades habituais e T em K.
Calculemos \psi_1 (entrada) com T_1=320\\ \mathrm{K},\\ p_1=350\\ \mathrm{kPa}:
\psi_1 = 1005\big(320-300 -300\ln\tfrac{320}{300}\big) + 300\cdot 287\ln\tfrac{350}{100}.
Passo a passo:
320-300=20,\quad \ln\tfrac{320}{300}\approx 0{,}0645385,\quad 300\ln\dfrac{320}{300}\approx 19{,}3616,
1005(20-19{,}3616)=1005\cdot 0{,}6384\approx 641{,}6\\ \mathrm{J/kg},
\ln\dfrac{350}{100}=\ln 3{,}5\approx 1{,}252763,\quad 300\cdot 287\cdot 1{,}252763\approx 107{,}863\\ \mathrm{J/kg}.
Somando:
\psi_1 \approx 641{,}6 + 107{,}863 \approx 108{,}504\\ \mathrm{J/kg}.
Agora \psi_2 (saída) com T_2=479{,}16\\ \mathrm{K},\\ p_2=1200\\ \mathrm{kPa}:
\psi_2 = 1005\big(479{,}16-300 -300\ln\tfrac{479{,}16}{300}\big) + 300\cdot 287\ln\tfrac{1200}{100}.
Passo a passo:
479{,}16-300=179{,}16,\quad \ln\tfrac{479{,}16}{300}\approx 0{,}4676,\quad 300\cdot 0{,}4676\approx 140{,}28,
1005(179{,}16-140{,}28)=1005\cdot 38{,}88\approx 39{,}078\\ \mathrm{J/kg},
\ln\tfrac{1200}{100}=\ln 12 \approx 2{,}484907,\quad 300\cdot 287\cdot 2{,}484907\approx 213{,}950\\ \mathrm{J/kg}.
Somando:
\psi_2 \approx 39{,}078 + 213{,}950 \approx 253{,}028\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 7

Diferença de exergia de fluxo entre entrada e saída (taxa), isto é \dot m(\psi_2-\psi_1).
Calculamos a diferença específica:
\psi_2-\psi_1 \approx 253{,}028 - 108{,}504 = 144{,}524\\ \mathrm{J/kg}.
Multiplicando pela vazão mássica:
\dot E_{flow} = \dot m(\psi_2-\psi_1)=19{,}0537\cdot 144{,}524 \approx 2{,}753{,}709\\ \mathrm{W}\approx 2753{,}7\\ \mathrm{kW}.
(Interpretação: o fluxo ganha exergia durante a compressão — essa é a exergia aumentada do ar entre entrada e saída.)

Passo 8

Taxa de destruição de exergia \dot E_{d}.
Usamos o balanço de exergia em regime permanente (adiabático, sem trocas de calor com diferença de temperatura útil):
\dot m\psi_1 + \dot W = \dot m\psi_2 + \dot E_{d}.
Rearranjando:
\dot E_{d} = \dot W + \dot m(\psi_1-\psi_2) = \dot W - \dot m(\psi_2-\psi_1).
Substituindo valores numéricos:
\dot E_{d} = 3{,}047{,}750\\ \mathrm{W} - 2{,}753{,}709\\ \mathrm{W} \approx 294{,}041\\ \mathrm{W}\approx 294{,}0\\ \mathrm{kW}.
Isso é positivo, como deve ser (segunda lei).

Passo 9

Eficiência exergética do compressor \eta_{ex}.
Definição adequada para um compressor: relação entre o ganho de exergia útil do fluido e a exergia fornecida pelo trabalho:
\eta_{ex}=\dfrac{\dot m(\psi_2-\psi_1)}{\dot W}.
Substituindo:
\eta_{ex}=\dfrac{2{,}753{,}709}{3{,}047{,}750}\approx 0{,}9036 \approx 90{,}36\%.
Interpretação curta: aproximadamente 90{,}4\% da exergia fornecida pelo eixo foi convertida em aumento de exergia do fluxo; o restante ( \approx 294\\ \mathrm{kW}) foi destruído por irreversibilidades.

Resposta

(a) \dot m \approx 19{,}05\\ \mathrm{kg/s}
(b) T_2 \approx 479{,}16\\ \mathrm{K}
(c) \dot W \approx 3047{,}8\\ \mathrm{kW}
(d) \dot m(\psi_2-\psi_1) \approx 2753{,}7\\ \mathrm{kW}
(e) \dot E_{d} \approx 294{,}0\\ \mathrm{kW}
(f) \eta_{ex} \approx 90{,}36\\ \%

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