Para o sistema 1-clorobutano(1)/ clorobenzeno(2) as pressões de vapor das espécies puras são dadas por:
In P_{1}^{\text {sat }}(\mathrm{kPa})=13,9600-\frac{2.826,26}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+224,10} \mathrm{e} \ln P_{2}^{\text {sat }}(\mathrm{kPa})=13,9926-\frac{3.295,12}{t\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+217,55}
Onde T está em { }^{\circ} \mathrm{Ce} P_{i}{ }^{\text {sat }} \mathrm{em} \mathrm{kPa}. Assumindo que a Lei de Raoult descreve o equilíbrio líquido/vapor para este sistemas, determine:
A fração do sistema que é líquida, x_{1} e y_{1} a 120^{\circ} \mathrm{C} e 115 kPa , quando a composição global do sistema é 35 \% (base molar) de 1-clorobutano (problema do flash).

Passo 1

O enunciado fornece as equações de Antoine (em forma logarítmica) para as pressões de vapor das espécies puras e pede, à temperatura 120^\circ\mathrm{C} e pressão total P=115\\ \mathrm{kPa}, o problema de flash quando a composição global (alimentação) é 35\% molar de 1-clorobutano (espécie 1). Especificamente, pede:
  • a fração do sistema que está líquida (isto é, a fração molar líquida L/F ou, equivalentemente, 1-\beta, onde \beta é a fração de vapor);
  • a composição da fase líquida em termos de x_{1} (fração molar de 1-clorobutano na fase líquida);
  • a composição da fase vapor em termos de y_{1} (fração molar de 1-clorobutano na fase vapor).
Dados extraídos do enunciado (peguei diretamente as equações dadas):
\ln P_{1}^{\text{sat}}(\mathrm{kPa})=13{,}9600-\frac{2826{,}26}{t\;({^\circ\mathrm{C}})+224{,}10}
\ln P_{2}^{\text{sat}}(\mathrm{kPa})=13{,}9926-\frac{3295{,}12}{t\;({^\circ\mathrm{C}})+217{,}55}
onde t=120^\circ\mathrm{C}, P=115\\ \mathrm{kPa} e a composição global é \;z_1=0{,}35 e \;z_2=0{,}65.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que usamos (explicadinho como num amigo que te ajuda na prova):
  • Lei de Raoult (para mistura ideal): em equilíbrio líquido–vapor para cada componente i,
y_i = K_i\,x_i,
onde K_i é o fator de equilíbrio (razão entre pressão de vapor do puro e pressão total):
K_i = \frac{P_i^{\text{sat}}}{P}.
Aqui x_i é a fração molar na fase líquida e y_i na fase vapor; P_i^{\text{sat}} é a pressão de vapor do componente puro à temperatura dada, e P é a pressão do sistema.
  • Balanço de matéria global para o componente 1 (com fração de vapor \beta):
z_1 = (1-\beta)\,x_1 + \beta\,y_1.
Usando y_1=K_1 x_1 obtemos
x_1 = \frac{z_1}{1 + \beta (K_1-1)}.
  • Para determinar \beta usamos a equação de Rachford–Rice (soma sobre todos os componentes):
\sum_{i}\frac{z_i(K_i-1)}{1+\beta(K_i-1)}=0.
No caso de duas espécies isto fica explícito e podemos resolver numericamente para \beta.

Passo 3

Calcular P_i^{\text{sat}} a t=120^\circ\mathrm{C} usando as equações dadas. Primeiro calculamos os argumentos no denominador:
t+224{,}10 = 120 + 224{,}10 = 344{,}10
t+217{,}55 = 120 + 217{,}55 = 337{,}55

Passo 4

Calcular \ln P_{1}^{\text{sat}} e \ln P_{2}^{\text{sat}} numericamente:
\ln P_{1}^{\text{sat}} = 13{,}9600 - \frac{2826{,}26}{344{,}10}
Calculemos a fração:
\frac{2826{,}26}{344{,}10}\approx 8{,}2133
Logo
\ln P_{1}^{\text{sat}}\approx 13{,}9600 - 8{,}2133 = 5{,}7467.
Convertendo:
P_{1}^{\text{sat}} = \exp(5{,}7467)\approx 313{,}0\\ \mathrm{kPa}.
Agora para o componente 2:
\ln P_{2}^{\text{sat}} = 13{,}9926 - \frac{3295{,}12}{337{,}55}
\frac{3295{,}12}{337{,}55}\approx 9{,}7617
\ln P_{2}^{\text{sat}}\approx 13{,}9926 - 9{,}7617 = 4{,}2309
P_{2}^{\text{sat}} = \exp(4{,}2309)\approx 68{,}8\\ \mathrm{kPa}.
(Resumo dos valores calculados: P_{1}^{\text{sat}}\approx 313{,}0\\ \mathrm{kPa} e P_{2}^{\text{sat}}\approx 68{,}8\\ \mathrm{kPa}.)

Passo 5

Calcular os fatores de equilíbrio K_i:
K_1 = \frac{P_{1}^{\text{sat}}}{P} = \frac{313{,}0}{115}\approx 2{,}721
K_2 = \frac{P_{2}^{\text{sat}}}{P} = \frac{68{,}8}{115}\approx 0{,}598

Passo 6

Montar a equação de Rachford–Rice para encontrar \beta (fração de vapor):
\frac{z_1(K_1-1)}{1+\beta(K_1-1)}+\frac{z_2(K_2-1)}{1+\beta(K_2-1)}=0,
com z_1=0{,}35,\; z_2=0{,}65,\; K_1-1\approx 1{,}721,\; K_2-1\approx -0{,}402.

Passo 7

Resolver numericamente a equação de Rachford–Rice. Vamos avaliar a função
f(\beta)=\frac{0{,}35\times 1{,}721}{1+1{,}721\beta}+\frac{0{,}65\times(-0{,}402)}{1-0{,}402\beta}
procurando \beta\in[0,1] tal que f(\beta)=0.
Avaliações rápidas:
  • \beta=0: f(0)=0{,}35\times1{,}721+0{,}65\times(-0{,}402)\approx 0{,}34105>0.
  • \beta=0{,}5: calcular cada termo: \text{termo}_1=\frac{0{,}60235}{1+1{,}721\times0{,}5}=\frac{0{,}60235}{1{,}8605}\approx 0{,}3238
\text{termo}_2=\frac{-0{,}2613}{1-0{,}402\times0{,}5}=\frac{-0{,}2613}{0{,}799}\approx -0{,}3269
Soma \approx -0{,}0031 (ligeiramente negativa).
Como f(0)>0 e f(0{,}5)<0, existe uma raiz entre 0 e 0,5. Fazendo interpolação/iteração fina encontramos:
  • \beta\approx 0{,}4938 (teste: com este valor f(\beta)\approx 0 dentro do erro de arredondamento).

Passo 8

Determinar a fração líquida do sistema:
\text{fração líquida} = 1-\beta \approx 1 - 0{,}4938 = 0{,}5062.çãí
Ou seja, cerca de 50{,}62\% do sistema está na fase líquida.

Passo 9

Calcular x_1 usando a fórmula direta:
x_1 = \frac{z_1}{1+\beta(K_1-1)} = \frac{0{,}35}{1+0{,}4938\times 1{,}721}.
O denominador é 1 + 0{,}4938\times1{,}721 \approx 1{,}849. Então
x_1 \approx \frac{0{,}35}{1{,}849}\approx 0{,}1893.

Passo 10

Calcular y_1 pela relação de equilíbrio y_1 = K_1 x_1:
y_1 \approx 2{,}721 \times 0{,}1893 \approx 0{,}5152.

Passo 11

Verificação rápida (fechamento de balanço):
  • x_2 = 1-x_1 \approx 0{,}8107.
  • y_2 = 1-y_1 \approx 0{,}4848.
  • Checando balanço de componente 1: (1-\beta)x_1 + \beta y_1 \approx 0{,}5062\times0{,}1893 + 0{,}4938\times0{,}5152 \approx 0{,}35,que é a composição global z_1. Tudo consistente dentro do arredondamento.

Resposta

A fração do sistema que é líquida = 0{,}5062
x_{1}=0{,}1893
y_{1}=0{,}5152

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