Um compressor de ar de dois estágios operando em regime permanente recebe 1 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de ar a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar. O ar passa pelo primeiro estágio do compressor, com eficiência isentrópica de 80%, até uma pressio de 3 bar. Após, o ar é conduzido a um intercooler, que resfria o ar até 25^{\circ} \mathrm{C}, para entăo passar por um novo estágio, com a mesma eficiência isentrópica do anterior, até uma pressão de 9 bar. Cada estágio do compressor perde 2 \% da potência consumida na forma de calor, ambos passando por uma fronteira a 60^{\circ} \mathrm{C}. O estado morto está a 20^{\circ} \mathrm{C} e 1 bar, e efeitos de energia cinética e potencial podern ser desprezados.

Determine:

a. A potência consumida total, em hp; ( 5 pts )
b. A taxa de geração de entropia de cada estágio; (15 pts)
c. A soma das exergias associadas ao calor do compressor; [5 pts]
d. A soma das exergias associadas ao trabalho do compressor; ( 5 pts)
e. A soma das exergias associadas ao fluxo do compressor; (10 pts)
f. A soma das exergias destruida do compressor; [10 pts]

Passo 1

O enunciado descreve um compressor de dois estágios operando em regime permanente, recebendo ar ideal a T_0=20^\circ\mathrm C e p_0=1\\ \mathrm{bar}. Cada estágio tem eficiência isentrópica \eta_c=0,80 e perde 2\% da potência como calor para uma fronteira a 60^\circ\mathrm C. Entre os estágios há intercooler que leva o ar a 25^\circ\mathrm C. Desprezam-se variações de energia cinética e potencial. Vamos usar as propriedades do ar como gás ideal, com c_p=1,005\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, R=0,287\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e \kappa=1{,}4, além do balanço de energia e exergia para sistemas ACF.

Passo 2

Calcular a vazão mássica de ar na entrada a 1\\ \mathrm{m}^3/\mathrm s, T_1=293{,}15\\ \mathrm K, p_1=1\\ \mathrm{bar}:
\rho_1=\frac{p_1}{R\,T_1} =\frac{10^5}{0,287\cdot293{,}15}\approx1{,}19\\ \mathrm{kg/m^3},
\dot m=\rho_1\cdot1\\ \mathrm{m^3/s}\approx1{,}19\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

Primeiro estágio: p_2/p_1=3. Temperatura isentrópica de saída
T_{2s}=T_1\,(3)^{(\kappa-1)/\kappa} =293{,}15\cdot3^{0,2857}\approx401{,}6\\ \mathrm K.
Temperatura real
T_2=T_1+\frac{T_{2s}-T_1}{\eta_c} =293{,}15+\frac{401{,}6-293{,}15}{0{,}8}\approx428{,}7\\ \mathrm K.
Trabalho específico no fluido
w_1=c_p\,(T_2-T_1)=1{,}005\,(428{,}7-293{,}15)\approx136{,}2\\ \mathrm{kJ/kg},
potência útil
\dot W_{f1}=\dot m\,w_1\approx1{,}19\cdot136{,}2\approx162{,}2\\ \mathrm{kW}.
Potência absorvida
\dot W_{in1}=\frac{\dot W_{f1}}{0{,}98}\approx\frac{162{,}2}{0{,}98}\approx165{,}5\\ \mathrm{kW},
calor rejeitado pelo estágio 1
\dot Q_{1} =0{,}02\,\dot W_{in1}\approx3{,}31\\ \mathrm{kW}. Após o intercooler temos T_3=298{,}15\\ \mathrm K, p_3=3\\ \mathrm{bar}.

Passo 4

Segundo estágio: p_4/p_3=9/3=3.
T_{4s}=T_3\,(3)^{0,2857} =298{,}15\cdot3^{0,2857}\approx408{,}3\\ \mathrm K,
T_4=T_3+\frac{T_{4s}-T_3}{0{,}8} =298{,}15+\frac{408{,}3-298{,}15}{0{,}8}\approx435{,}8\\ \mathrm K,
w_2=c_p\,(T_4-T_3) =1{,}005\,(435{,}8-298{,}15)\approx138{,}3\\ \mathrm{kJ/kg},
\dot W_{f2}=\dot m\,w_2\approx1{,}19\cdot138{,}3\approx164{,}5\\ \mathrm{kW},
\dot W_{in2}=\dot W_{f2}/0{,}98\approx167{,}9\\ \mathrm{kW},
\dot Q_{2}=0{,}02\,\dot W_{in2}\approx3{,}36\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Potência total consumida
\dot W_{tot}=\dot W_{in1}+\dot W_{in2} \approx165{,}5+167{,}9=333{,}4\\ \mathrm{kW}.
Em hp ( 1\\ \mathrm{hp}=0{,}7457\\ \mathrm{kW})
\dot W_{tot,\\ hp} =\frac{333{,}4}{0{,}7457}\approx447{,}1\\ \mathrm{hp}.

Passo 6

Entropia gerada no estágio 1:
\Delta s_1 =c_p\ln\frac{T_2}{T_1}-R\ln\frac{p_2}{p_1} =1{,}005\ln\frac{428{,}7}{293{,}15} -0{,}287\ln3\approx0{,}0654\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)},
\dot m\,\Delta s_1\approx1{,}19\cdot0{,}0654=0{,}0778\\ \mathrm{kW/K},
\displaystyle\frac{\dot Q_1}{T_b} =\frac{3{,}31}{333{,}15}=0{,}00993\\ \mathrm{kW/K},
\dot S_{\mathrm{gen},1} =\dot m\,\Delta s_1-\frac{\dot Q_{1}}{T_b} \approx0{,}0778-0{,}00993=0{,}0678\\ \mathrm{kW/K}.

Passo 7

Entropia gerada no estágio 2:
\Delta s_2 =1{,}005\ln\frac{435{,}8}{298{,}15} -0{,}287\ln3\approx0{,}0653\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)},
\dot m\,\Delta s_2\approx1{,}19\cdot0{,}0653=0{,}0777\\ \mathrm{kW/K},
\displaystyle\frac{\dot Q_2}{T_b} =\frac{3{,}36}{333{,}15}=0{,}0101\\ \mathrm{kW/K},
\dot S_{\mathrm{gen},2} =\dot m\,\Delta s_2-\frac{\dot Q_{2}}{T_b} \approx0{,}0777-0{,}0101=0{,}0676\\ \mathrm{kW/K}.

Passo 8

Exergia associada aos calores rejeitados (para cada estágio as perdas ocorrem a T_b=333{,}15\\ \mathrm K):
\dot E_{Q} =\sum_i \dot Q_i\Bigl(1-\frac{T_0}{T_b}\Bigr) =(3{,}31+3{,}36)\Bigl(1-\frac{293{,}15}{333{,}15}\Bigr) \approx6{,}67\cdot0{,}1210 \approx0{,}81\\ \mathrm{kW}.

Passo 9

Exergia associada ao trabalho do compressor (o trabalho é 100% exergia útil):
\dot E_{W} =\dot W_{in1}+\dot W_{in2} =333{,}4\\ \mathrm{kW}.

Passo 10

Exergia de fluxo (do estado de entrada a 1 bar, 293,15 K, até a saída final a 9 bar, 435,8 K):
\psi_2 =c_p\,(T_4-T_0)-T_0\Bigl[c_p\ln\frac{T_4}{T_0}-R\ln\frac{p_4}{p_0}\Bigr] \approx211{,}3\\ \mathrm{kJ/kg},
\dot E_{\mathrm{fluxo}} =\dot m\,\psi_2 \approx1{,}19\cdot211{,}3 \approx251{,}5\\ \mathrm{kW}.

Passo 11

Exergia destruída nos dois estágios (pela 2.ª lei):
\dot E_{d} =T_0\bigl(\dot S_{\mathrm{gen},1}+\dot S_{\mathrm{gen},2}\bigr) =293{,}15\,(0{,}0678+0{,}0676) \approx39{,}7\\ \mathrm{kW}.

Resposta

a. \displaystyle\dot W_{tot}\approx447{,}1\\ \mathrm{hp}.
b. \dot S_{\mathrm{gen},1}\approx0{,}0678\\ \mathrm{kW/K},\quad \dot S_{\mathrm{gen},2}\approx0{,}0676\\ \mathrm{kW/K}.
c. \displaystyle\dot E_{Q}\approx0{,}81\\ \mathrm{kW}.
d. \displaystyle\dot E_{W}\approx333{,}4\\ \mathrm{kW}.
e. \displaystyle\dot E_{\mathrm{fluxo}}\approx251{,}5\\ \mathrm{kW}.
f. \displaystyle\dot E_{d}\approx39{,}7\\ \mathrm{kW}.

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