Um compressor de ar de duplo efeito, de 35 \times 38 \mathrm{~cm}, com espaço nocivo de 4 \%, opera a 150 rpm. No estado 1 o ar está a 0,95 \mathrm{~atm} e 27^{\circ} \mathrm{C} e a descarga ocorre a 3,8 \mathrm{~atm}. A compressão e a reexpansão são isoentrópicas. O estado da atmosfera nas vizinhanças é pa =1,0 \mathrm{~atm} e \mathrm{Ta}=21^{\circ} \mathrm{C}.
a) Estimar a quantidade de ar livre ( \mathrm{em} \mathrm{m} 3 / \mathrm{min} ) operada, usando o rendimento volumétrico convencional.
b) Calcular a potência, sendo 75 \% o rendimento do compressor, com base no trabalho injetado no eixo.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Estimar a quantidade de ar livre operada, em \mathrm{m}^3/\mathrm{min}, usando o rendimento volumétrico convencional.
  2. Calcular a potência requerida no eixo, sabendo que o rendimento do compressor é 75\%.
Dados fornecidos (vou listar tudo explícito):
\begin{aligned} &\text{Diâmetro do cilindro: } D=35\\ \text{cm}=0{,}35\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Curso (stroke): } S=38\\ \text{cm}=0{,}38\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Duplo efeito (double-acting, um cilindro): 2 admissões por volta},\\\ &\text{Espaço nocivo (clearance): } C=4\%=0{,}04,\\\ &\text{Rotação: } N=150\\ \mathrm{rpm},\\\ &\text{Estado 1 (sucção): } P_1=0{,}95\\ \mathrm{atm},\\ T_1=27^\circ\mathrm{C}=300{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Descarga: } P_d=3{,}8\\ \mathrm{atm},\\\ &\text{Compressão e reexpansão isoentrópicas (usar } k=1{,}4 \text{ para o ar)},\\\ &\text{Atmosfera de referência (ar livre): } p_a=1{,}0\\ \mathrm{atm},\\ T_a=21^\circ\mathrm{C}=294{,}15\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Rendimento do compressor (isentrópico/realidade): } \eta_c=0{,}75.\\\ \end{aligned}âõççãçãããóêó
Observação: vou assumir um único cilindro double‑acting (informação típica do enunciado “35×38 cm”) — isso implica duas admissões por rotação; se fosse mais de um cilindro, multiplicaria pelo nº de cilindros (não indicado).

Passo 2

Calcular a área do pistão e o volume varrido por golpe (swept volume), explicando as fórmulas.
Área do pistão: área de um círculo,
A=\frac{\pi D^2}{4},
onde D é o diâmetro. Substituindo,
A=\frac{\pi (0{,}35)^2}{4}=0{,}096211\\ \mathrm{m}^2\\ (\text{aprox.}).
Volume varrido por um só curso (swept volume)
V_s = A\cdot S = 0{,}096211\times 0{,}38 = 0{,}036540\\ \mathrm{m}^3.
Como o compressor é double‑acting, a cada rotação o volume teórico deslocado é duas vezes V_s:
V_{\text{teórico por volta}} = 2V_s = 0{,}073080\\ \mathrm{m}^3.ó
Portanto o volume teórico por minuto (sem considerar rendimento volumétrico) é
\dot V_{\text{teórico}} = N\cdot 2V_s = 150\times 0{,}073080 = 10{,}962\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}.ó

Passo 3

Explicar e calcular o rendimento volumétrico convencional com clearance.
Conceito e fórmula: com espaço nocivo (clearance) C=V_c/V_s, durante a expansão do volume residual do final da descarga até a pressão de sucção, parte do volume varrido não é preenchido por ar novo. Para um processo de reexpansão politrópico com expoente n (aqui isoentrópico: n=k=1{,}4), o rendimento volumétrico convencional é
\eta_v = 1 + C - C\left(\frac{P_d}{P_1}\right)^{1/n}.
Explicação rápida das parcelas: 1 corresponde ao volume varrido, +C corrige porque o volume residual acrescenta ao volume total disponível, e o termo subtraído representa o volume residual reexpandido até a pressão de descarga que não é substituído por ar novo.
Aplicando os valores: P_d/P_1 = 3{,}8/0{,}95 = 4{,}0 e n=1{,}4. Então
\left(\frac{P_d}{P_1}\right)^{1/n} = 4^{1/1{,}4} = 4^{0{,}7142857}\approx 2{,}693.
Logo
\eta_v = 1 + 0{,}04 - 0{,}04\times 2{,}693 = 1{,}04 - 0{,}1077 = 0{,}9323\\ (\text{ou }93{,}23\%).

Passo 4

Calcular o fluxo volumétrico real de admissão no estado de sucção (em \mathrm{m}^3/\mathrm{min}) usando \eta_v.
\dot V_{1} = \eta_v \cdot \dot V_{\text{teórico}} = 0{,}9323\times 10{,}962 = 10{,}217\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}\\ (\text{no estado de sucção }P_1,T_1).óçã

Passo 5

Converter esse fluxo para “ar livre” nas condições atmosféricas dadas (p_a,T_a).
Raciocínio: a massa de ar por minuto é a mesma no fluxo real e no fluxo livre equivalente. Usando a equação dos gases ideais, densidade \rho\propto P/T, então a relação entre volumes é
\dot V_{\text{livre}} = \dot V_{1}\cdot\frac{P_1}{p_a}\cdot\frac{T_a}{T_1}.
Substituindo números:
\dot V_{\text{livre}} = 10{,}217\times\frac{0{,}95}{1{,}00}\times\frac{294{,}15}{300{,}15}.
Calculemos passo a passo:
\frac{294{,}15}{300{,}15}\approx 0{,}9800,\qquad \frac{0{,}95}{1{,}00}=0{,}95,
\text{fator total}=0{,}95\times 0{,}9800\approx 0{,}9310,
\dot V_{\text{livre}} \approx 10{,}217\times 0{,}9310 = 9{,}511\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}.
Interpretação: esse é o volume de ar (nas condições ambientes p_a,T_a) equivalente à massa que o compressor suga por minuto nas condições reais de sucção.

Passo 6

Preparar para o cálculo da potência: converter vazão à condição de sucção para \mathrm{m}^3/\mathrm{s} e obter a vazão mássica.
Conversão:
\dot V_{1} = 10{,}217\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min} = \frac{10{,}217}{60}=0{,}17028\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
Usando a equação dos gases ideais para densidade no estado de sucção:
\rho_1=\frac{P_1}{R T_1}.
Usar P_1=0{,}95\\ \mathrm{atm}=0{,}95\times 101325=96258{,}75\\ \mathrm{Pa}, T_1=300{,}15\\ \mathrm{K}, R_{\text{ar}}=287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
\rho_1=\frac{96258{,}75}{287\times 300{,}15}\approx 1{,}1175\\ \mathrm{kg/m}^3.
Logo a vazão mássica é
\dot m = \rho_1\dot V_{1,\mathrm{(s)}} = 1{,}1175\times 0{,}17028 \approx 0{,}1903\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 7

Calcular a temperatura após compressão isoentrópica e o trabalho ideal por unidade de massa. Explicando as fórmulas.
Para compressão isoentrópica de gás ideal,
T_2 = T_1\left(\frac{P_d}{P_1}\right)^{(k-1)/k},
onde k=1{,}4. O expoente (k-1)/k = 0{,}4/1{,}4 = 0{,}2857143. Com P_d/P_1 = 4{,}0,
\left(\frac{P_d}{P_1}\right)^{(k-1)/k} = 4^{0{,}2857143}\approx 1{,}4866.
Então
T_2 = 300{,}15\times 1{,}4866 \approx 446{,}25\\ \mathrm{K}.
O trabalho isentrópico específico (por unidade de massa) para um gás ideal pode ser escrito como
w_s = c_p (T_2 - T_1),
onde c_p é o calor específico à pressão constante. Para o ar à temperatura ambiente usamos c_p\approx 1005\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Assim
w_s = 1005\times(446{,}25-300{,}15)=1005\times 146{,}10 \approx 146830{,}5\\ \mathrm{J/kg}.

Passo 8

Calcular a potência ideal de compressão e a potência no eixo considerando o rendimento do compressor.
Potência ideal (requisição térmica ideal):
\dot W_{\text{ideal}} = \dot m\\ w_s = 0{,}1903\times 146830{,}5 \approx 27944\\ \mathrm{W} \approx 27{,}94\\ \mathrm{kW}.
Como o compressor tem rendimento \eta_c=0{,}75 (isto é, a potência real no eixo é maior que a ideal dividindo por \eta_c), a potência no eixo é
\dot W_{\text{eixo}} = \frac{\dot W_{\text{ideal}}}{\eta_c} = \frac{27944}{0{,}75} \approx 37259\\ \mathrm{W}\approx 37{,}26\\ \mathrm{kW}.

Passo 9

Brecha de verificação rápida (sanity check):
  • Vazão livre cerca de 9{,}5\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min} para 150 rpm e diâmetro/curso dados parece consistente.
  • Potência da ordem de 30\text{–}40\\ \mathrm{kW} também é razoável para uma alta relação de pressão (4×) e vazão dessa magnitude.

Resposta

9{,}51\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}\n 37{,}3\\ \mathrm{kW}

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