3- Se comprime aire de manera estacionaria desde 1 atm hasta 9 atm . Si la temperatura inicial es de 300 K , calcular el trabajo del compresor para una transformación adiabática si dicha compresión se hace en una sola etapa y cuando se realiza en dos etapas en condiciones óptimas de trabajo. (30 puntos).
Passo 1
O enunciado dá uma compressão de ar estacionária (compressor) desde a pressão inicial
até a pressão final
. A temperatura inicial é
. Pede-se calcular o trabalho do compressor para uma transformação adiabática (ou seja, sem troca de calor) nas duas situações: compressão em uma só etapa e compressão em duas etapas em condições ótimas de trabalho. Informações relevantes listadas:
-
e . -
. - Processo adiabático (assumiremos reversível/isentrópico para obter as relações clássicas).
- O enunciado não dá massa nem propriedades do ar; portanto vamos calcular o trabalho específico (por unidade de massa, em
). - Não foi dada a razão de capacidades térmicas; usaremos valores padrão para ar:
, e . Estas são hipóteses usuais em problemas de prova quando não fornecidas.
Passo 2
Vou explicar qual fórmula usamos para o trabalho específico do compressor em um processo adiabático reversível (isentrópico). Para um escoamento estacionário e desprezando energia cinética e potencial, o trabalho específico fornecido ao fluido por um compressor ideal isentrópico é igual ao aumento de entalpia específica:
onde
é o trabalho específico (positiva a entrada de trabalho),
é o calor específico a pressão constante e
são as temperaturas na entrada e saída do estágio. Então precisamos achar
para o processo isentrópico usando a relação entre temperatura e pressão para gás ideal:
para processo isentrópico de gás ideal com
,
Definimos
(no caso
,
).
Passo 3
Cálculo para compressão em uma só etapa (isentrópica). Primeiro calculemos
:
A razão de pressão total é
A temperatura de saída
é
Passo 4
Calculemos numericamente
. Usando a relação com logaritmos:
Portanto
Passo 5
Agora o trabalho específico na compressão em uma etapa é
Substituindo
,
Calculando:
Passo 6
Agora tratemos a compressão em duas etapas com resfriamento intermédio ótimo (intercooling perfeito até
). A estratégia ótima (mínimo trabalho) com intercooler perfeito e duas etapas é escolher a pressão intermediária
que minimiza o trabalho total. Vamos deduzir
.
Seja
a pressão entre as etapas. As razões de pressão das etapas são
e
. Com intercooling perfeito, a temperatura de entrada da segunda etapa volta a
. O trabalho específico total é
Queremos minimizar
sujeito a
(pois
). Usando cálculo (derivada) ou simetria, a soma é mínima quando
. Assim a condição ótima é
Portanto, para
e
,
Isto significa que cada estágio tem razão de pressão igual a
.
Passo 7
Com a razão de pressão por estágio
, calculemos a temperatura de saída de cada estágio isentrópico (cada estágio parte de
graças ao intercooler perfeito):
Calculemos numericamente
:
Logo
Passo 8
Trabalhemos o trabalho por estágio e o total. O aumento de temperatura por estágio é
O trabalho específico por estágio é
Como são duas etapas idênticas, o trabalho total é
Passo 9
Comparação e economia de trabalho: a economia absoluta é
o que corresponde a uma redução percentual aproximada