Considera-se o escoamento de vapor d’água através de um bocal. O vapor entra no bocal a 1 \mathrm{MPa}, 300^{\circ} \mathrm{C} e com uma velocidade de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A pressão do vapor na saída do bocal é 0,3 \mathrm{MPa}. Determinar a velocidade do vapor, em (m/s) na saída do bocal, admitindo que o processo seja adiabático, reversível e em regime permanente.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade do vapor na saída do bocal, dado que o escoamento é adiabático, reversível e em regime permanente. Dados fornecidos:
P_1 = 1{,}0\\ \mathrm{MPa},\qquad T_1 = 300^\circ\mathrm{C},\qquad V_1 = 30\\ \mathrm{m/s},
P_2 = 0{,}3\\ \mathrm{MPa}.
Pedido: determinar V_2 (em \mathrm{m/s}).
Observações imediatas (do enunciado): processo adiabático e reversível em regime permanente — essas condições implicam que a entropia específica do fluido permanece constante entre entrada e saída e que podemos usar a conservação de energia para escoamento em regime permanente.

Passo 2

Escrevemos a equação de energia para um escoamento em regime permanente, por massa, negligenciando energia potencial e trabalho de eixo do dispositivo:
h_1 + \frac{V_1^2}{2} = h_2 + \frac{V_2^2}{2},
onde h é a entalpia específica (unidade \mathrm{kJ/kg} se multiplicada por 1000 dá J/kg) e V é a velocidade (unidade \mathrm{m/s}). Essa fórmula vem da primeira lei da termodinâmica para um sistema de controle em regime permanente e diz que variação de entalpia compensa variação da energia cinética por unidade de massa.
Como o processo é adiabático e reversível, a entropia específica é constante:
s_1 = s_2.
Para avançar, adotaremos um modelo prático: aproximar o vapor d’água como gás ideal com capacidades caloríficas constantes — é uma aproximação aceitável aqui porque o vapor está superaquecido e não muito perto da região de saturação, e permite resolver sem recorrer a tabelas. Nesse caso a relação isentrópica utilitária entre temperaturas e pressões é
T_2 = T_1\left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\tfrac{k-1}{k}},
onde k = \dfrac{c_p}{c_v} é a razão dos calores específicos e c_p,c_v são assumidos constantes. Explico cada símbolo: T em kelvin, P em mesma unidade de pressão, c_p em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}, R = c_p-c_v é a constante específica do gás.

Passo 3

Passo prático: converter temperaturas e escolher valores numéricos plausíveis para as constantes do vapor:
T_1 = 300^\circ\mathrm{C} = 300 + 273{,}15 = 573{,}15\\ \mathrm{K}.
Valores típicos (aproximação constante para vapor d’água):
c_p = 1{,}996\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)},\qquad R = 0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Calcule c_v e k:
c_v = c_p - R = 1{,}996 - 0{,}4615 = 1{,}5345\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
k = \frac{c_p}{c_v} = \frac{1{,}996}{1{,}5345} \approx 1{,}3001.

Passo 4

Calcular T_2 pela relação isentrópica (ideal-gás, k constante):
\frac{k-1}{k} = \frac{1{,}3001-1}{1{,}3001} \approx 0{,}2308.
T_2 = 573{,}15\left(\frac{0{,}3}{1{,}0}\right)^{0{,}2308}.
Calcule o fator de potência:
\left(0{,}3\right)^{0{,}2308} = \exp\!\big(0{,}2308\ln 0{,}3\big)\approx \exp(-0{,}2779)\approx 0{,}7576.
Logo
T_2 \approx 573{,}15\cdot 0{,}7576 \approx 434{,}2\\ \mathrm{K}\quad(\approx 161{,}1^\circ\mathrm{C}).

Passo 5

Calcular a variação de entalpia usando h = c_p T (diferença de entalpia é independente da referência absoluta):
\Delta h = h_1 - h_2 = c_p\,(T_1 - T_2).
Numericamente:
T_1 - T_2 = 573{,}15 - 434{,}2 = 138{,}95\\ \mathrm{K}.
\Delta h = 1{,}996\cdot 138{,}95 \approx 277{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}.

Passo 6

Usar a equação de energia para obter V_2. Reescrevendo:
\frac{V_2^2}{2} = \frac{V_1^2}{2} + (h_1 - h_2).
Convertendo \Delta h para J/kg ( 1\\ \mathrm{kJ/kg}=1000\\ \mathrm{J/kg}):
V_2 = \sqrt{V_1^2 + 2\cdot (h_1 - h_2)\cdot 1000 }.
Substituindo números ( V_1 = 30\\ \mathrm{m/s}, \Delta h \approx 277{,}3\\ \mathrm{kJ/kg}):
V_2 = \sqrt{30^2 + 2\cdot 277{,}3\cdot 1000}\approx \sqrt{900 + 554\,600}\approx \sqrt{555\,500}\approx 745{,}3\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Interpretação e observação final: o valor obtido \approx 745\\ \mathrm{m/s} é uma boa estimativa usando o modelo de gás ideal com c_p constante. Se fossem usadas propriedades reais do vapor (tabelas de vapor/Software IAPWS) o valor mudaria um pouco, mas a ordem de grandeza e o raciocínio (conversão de entalpia em energia cinética num escoamento isentrópico) permanecem os mesmos. Você pode levar esse procedimento para a prova: 1) identifique que é escoamento adiabático reversível em regime permanente; 2) escreva energia por massa; 3) obtenha h_2 por isentropia (ou aproximação ideal-gás); 4) calcule V_2.

Resposta

V_2 \approx 745\\ \mathrm{m/s}

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