Um gás ideal monoatômico é comprimido adiabaticamente em um cilindro com êmbolo. No início do processo, o gás ocupa um volume de V_{1}=4,0 L, sob pressão P_{1}=1,0 \mathrm{~atm}.
Após a compressão, o volume do gás é reduzido para V_{2}=1,0 L. Sabendo que o gás é monoatômico ( \gamma=5 / 3 ):
  1. Calcule a pressão final P_{2}.
  2. Determine o trabalho realizado sobre o gás no processo adiabático.
  3. Verifique a variação da energia interna do gás.

Passo 1

O enunciado dá um processo adiabático sobre um gás ideal monoatômico e pede três coisas. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
Dados fornecidos:
V_{1}=4,0\\ \mathrm{L}
P_{1}=1,0\\ \mathrm{atm}
V_{2}=1,0\\ \mathrm{L}
\gamma=\tfrac{5}{3}
Perguntas:
  1. Calcular a pressão final P_{2}.
  2. Determinar o trabalho realizado sobre o gás no processo adiabático.
  3. Verificar a variação da energia interna do gás.
Observação: vou trabalhar com unidades SI para energia (Joule), então mais adiante farei as conversões 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}} e 1\\ \mathrm{atm}=1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 2

Fórmula fundamental para um processo adiabático reversível de gás ideal (sem troca de calor): a quantidade
P V^{\gamma}
é constante durante o processo. Ou seja,
P_{1}V_{1}^{\gamma}=P_{2}V_{2}^{\gamma}.
Isso vem da primeira lei e da lei dos gases ideais aplicadas ao caso adiabático reversível; não vou assumir que você já conhece, mas a ideia é: se não há calor trocado, a relação entre P e V fica fixa por esse expoente \gamma.
Com essa relação podemos isolar P_{2}:
P_{2}=P_{1}\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{\gamma}.

Passo 3

Calcular P_{2} numericamente. Como a razão de volumes é adimensional, posso calcular P_{2} mantendo P_{1} em atm e depois converter se quiser.
A razão de volumes é
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{4,0\\ \mathrm{L}}{1,0\\ \mathrm{L}}=4.
Então
P_{2}=1,0\\ \mathrm{atm}\times 4^{\,5/3}.
Para calcular 4^{5/3} escrevo 5/3=1+\tfrac{2}{3}, logo
4^{5/3}=4\cdot 4^{2/3}=4\cdot\bigl(\sqrt[3]{4}\bigr)^{2}\approx 10,07936.
Portanto
P_{2}\approx 10,08\\ \mathrm{atm}.
Se quisermos em Pascal (para usar em contas de energia),
P_{1}=1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
P_{2}=1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\times 4^{5/3}\approx 1,02129\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Agora vamos ao trabalho. Definição e fórmula útil:
  • Trabalho realizado pelo gás (trabalho de expansão) ao variar o volume de V_{1} para V_{2} é
W_{\text{by}}=\int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,dV.
Para processo adiabático reversível temos P=C\,V^{-\gamma} com C=P_{1}V_{1}^{\gamma}. Integrando:
W_{\text{by}}=C\int_{V_{1}}^{V_{2}} V^{-\gamma}\,dV = \frac{C}{1-\gamma}\bigl(V_{2}^{\,1-\gamma}-V_{1}^{\,1-\gamma}\bigr).
Substituindo C=P_{1}V_{1}^{\gamma} e simplificando, uma forma prática é
W_{\text{by}}=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-\gamma}.
Repare que 1-\gamma é negativo (já que \gamma>1), então para compressão (quando P_{2}V_{2}>P_{1}V_{1}) o resultado será negativo, indicando que o gás realizou trabalho negativo (isto é, trabalho foi realizado sobre o gás).
O trabalho realizado sobre o gás é o negativo do trabalho realizado pelo gás:
W_{\text{on}}=-W_{\text{by}}.

Passo 5

Para calcular numericamente, passo tudo para SI:
Volumes:
V_{1}=4,0\\ \mathrm{L}=4,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}},
V_{2}=1,0\\ \mathrm{L}=1,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}.
Pressões em SI (já calculadas no passo 3):
P_{1}=1,01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa},
P_{2}\approx 1,02129\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
Calculo os produtos P V que aparecem na expressão de W:
P_{1}V_{1}=1,01325\times10^{5}\times 4,0\times10^{-3}=405,3\\ \mathrm{J}
(observe: \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{m^{3}}=\mathrm{J}),
P_{2}V_{2}=1,02129\times10^{6}\times 1,0\times10^{-3}=1021,29\\ \mathrm{J}.
Agora uso a fórmula do trabalho pelo gás:
W_{\text{by}}=\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-\gamma}.
Com \gamma=\tfrac{5}{3} temos 1-\gamma=-\tfrac{2}{3}. Então
W_{\text{by}}=\frac{1021,29-405,3}{-2/3}=-\tfrac{3}{2}\,(1021,29-405,3).
Calcule a diferença:
1021,29-405,3=615,99\\ \mathrm{J}
e
W_{\text{by}}=-\tfrac{3}{2}\times615,99\approx -923,99\\ \mathrm{J}.
Portanto o trabalho realizado sobre o gás (positivo para compressão) é
W_{\text{on}}=-W_{\text{by}}\approx +923,99\\ \mathrm{J}\approx +9,24\times10^{2}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Variação da energia interna \Delta U.
Para um gás ideal monoatômico a energia interna depende apenas da temperatura e vale
U=n C_{V}T.
Também existe a identidade (útil aqui) que relaciona U com PV:
U=\frac{1}{\gamma-1}\,P V
para o gás ideal (essa expressão vem de C_{V}=\dfrac{R}{\gamma-1} e de PV=nRT). Assim a variação de energia interna entre estados 1 e 2 é
\Delta U=\frac{1}{\gamma-1}\,(P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}).
Com \gamma-1=\tfrac{2}{3} temos 1/(\gamma-1)=\tfrac{3}{2}. Então
\Delta U=\tfrac{3}{2}\,(1021,29-405,3)=\tfrac{3}{2}\times615,99\approx 923,99\\ \mathrm{J}.
Interpretação física e cheque de consistência: como o processo é adiabático ( Q=0), a primeira lei diz \Delta U = Q - W_{\text{by}} = -W_{\text{by}}. Portanto \Delta U = W_{\text{on}}. Encontramos \Delta U\approx +923,99\\ \mathrm{J}, que coincide com o trabalho realizado sobre o gás — perfeito.

Resposta

P_{2}\approx 10,08\\ \mathrm{atm}\approx 1,0213\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}\n
W_{\text{on}}\approx +9,24\times10^{2}\\ \mathrm{J}\n
\Delta U\approx +9,24\times10^{2}\\ \mathrm{J}

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