Um gás ideal monoatômico é comprimido adiabaticamente em um cilindro com êmbolo. No início do processo, o gás ocupa um volume de
, sob pressão
.
Após a compressão, o volume do gás é reduzido para
. Sabendo que o gás é monoatômico (
):
- Calcule a pressão final
.
- Determine o trabalho realizado sobre o gás no processo adiabático.
- Verifique a variação da energia interna do gás.
Após a compressão, o volume do gás é reduzido para
Passo 1
O enunciado dá um processo adiabático sobre um gás ideal monoatômico e pede três coisas. Vou listar claramente o que temos e o que é pedido.
Dados fornecidos:
Perguntas:
- Calcular a pressão final
. - Determinar o trabalho realizado sobre o gás no processo adiabático.
- Verificar a variação da energia interna do gás.
Observação: vou trabalhar com unidades SI para energia (Joule), então mais adiante farei as conversões
e
.
Passo 2
Fórmula fundamental para um processo adiabático reversível de gás ideal (sem troca de calor): a quantidade
é constante durante o processo. Ou seja,
Isso vem da primeira lei e da lei dos gases ideais aplicadas ao caso adiabático reversível; não vou assumir que você já conhece, mas a ideia é: se não há calor trocado, a relação entre
e
fica fixa por esse expoente
.
Com essa relação podemos isolar
:
Passo 3
Calcular
numericamente. Como a razão de volumes é adimensional, posso calcular
mantendo
em atm e depois converter se quiser.
A razão de volumes é
Então
Para calcular
escrevo
, logo
Portanto
Se quisermos em Pascal (para usar em contas de energia),
Passo 4
Agora vamos ao trabalho. Definição e fórmula útil:
- Trabalho realizado pelo gás (trabalho de expansão) ao variar o volume de
para é
Para processo adiabático reversível temos
com
. Integrando:
Substituindo
e simplificando, uma forma prática é
Repare que
é negativo (já que
), então para compressão (quando
) o resultado será negativo, indicando que o gás realizou trabalho negativo (isto é, trabalho foi realizado sobre o gás).
O trabalho realizado sobre o gás é o negativo do trabalho realizado pelo gás:
Passo 5
Para calcular numericamente, passo tudo para SI:
Volumes:
Pressões em SI (já calculadas no passo 3):
Calculo os produtos
que aparecem na expressão de
:
(observe:
),
Agora uso a fórmula do trabalho pelo gás:
Com
temos
. Então
Calcule a diferença:
e
Portanto o trabalho realizado sobre o gás (positivo para compressão) é
Passo 6
Variação da energia interna
.
Para um gás ideal monoatômico a energia interna depende apenas da temperatura e vale
Também existe a identidade (útil aqui) que relaciona
com
:
para o gás ideal (essa expressão vem de
e de
). Assim a variação de energia interna entre estados 1 e 2 é
Com
temos
. Então
Interpretação física e cheque de consistência: como o processo é adiabático (
), a primeira lei diz
. Portanto
. Encontramos
, que coincide com o trabalho realizado sobre o gás — perfeito.