Ar é comprimido em um motor de automóvel de 22^{\circ} \mathrm{C} e 95 kPa de maneira reversível e adiabática (isentrópico). Se a razão de compressão V_{1} / V_{2} desse motor for 8 , determine a temperatura final do ar. Determine o volume molar nas duas temperaturas. Calcule utilizando a Tabela A-17 do Çengel.

Passo 1

O enunciado pede que a gente faça três coisas:
  1. Determine a temperatura final do ar comprimido reversivelmente e adiabaticamente (isentrópico), dado que a compressão tem razão V_{1}/V_{2}=8.
  2. Determine o volume molar nas duas temperaturas (estado inicial e final).
Informações fornecidas pelo enunciado:
\text{Temperatura inicial: }T_{1}=22^\circ\mathrm{C}
\text{Pressão inicial: }P_{1}=95\\ \mathrm{kPa}ã
\text{Razão de compressão: } \frac{V_{1}}{V_{2}} = 8ãã
\text{Processo: reversível e adiabático (isentrópico).}íáó
Obs.: o enunciado pede uso da Tabela A-17 do Çengel. Abaixo eu explicito quais dados desta tabela usei explicitamente.

Passo 2

Escolha do modelo e dados da tabela A-17 (Çengel):
  • Para ar seco, na Tabela A-17 do Çengel (valores típicos usados em problemas de termodinâmica) usamos: \text{índice adiabático (razão de capacidades térmicas): } k = 1,40íáãé(esse valor é o valor padrão para ar em condições próximas à temperatura ambiente — estou explicitando que peguei k=1{,}40 da Tabela A-17).
  • A constante universal dos gases que usaremos para volume molar é R_u = 8{,}3144621\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Também é útil saber que para conversões a massa molar do ar é normalmente tomada como M \approx 28{,}97\\ \mathrm{g/mol} (isso aparece na Tabela A-17 se necessário). Aqui vamos trabalhar com volumes molares usando R_u.
Explicação rápida (didática): usar k da Tabela A-17 é apropriado porque o processo é isentrópico e a relação entre temperatura e volume durante isentrópico para um gás ideal usa exatamente esse k. A Tabela A-17 dá os valores convencionais de k e propriedades do ar usados em exercícios.

Passo 3

Primeiros passos numéricos e conversões de unidades:
  • Converter T_{1} para Kelvin: T_{1} = 22^\circ\mathrm{C} = 22 + 273{,}15 = 295{,}15\\ \mathrm{K}.Para simplificar contas geralmente arredondo para T_{1}=295{,}15\\ \mathrm{K} (vou usar 295{,}15\\ \mathrm{K} nas contas).
  • Converter P_{1} para Pa (SI): P_{1} = 95\\ \mathrm{kPa} = 95\,000\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Relação isentrópica (derivação e significado):
  • Para um gás ideal sob processo reversível adiabático (isentrópico) vale a relação (uma das formas das relações isentrópicas): T\,V^{\,k-1}=\text{const}.Isso significa que entre dois estados isentrópicos: \frac{T_{2}}{T_{1}}=\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{k-1}.
  • Aqui T é temperatura absoluta em Kelvin, V é volume (pode ser volume molar ou volume específico; a razão V_{1}/V_{2} é adimensional), e k é a razão c_{p}/c_{v} (pegamos k=1{,}40 da Tabela A-17).
Observação didática: esta relação vem de combinar pV=RT (gás ideal) com pV^{k}= constante (relação para processo isentrópico), ou diretamente de integrar a expressão c_{v}\,dT+ p\,dV=0 para processo adiabático reversível sob hipótese de gás ideal com c_{p},c_{v} constantes.

Passo 5

Cálculo da temperatura final usando a relação isentrópica:
  • Usamos T_{2} = T_{1}\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)^{k-1}.
  • Substituindo os valores: k-1 = 1{,}40 - 1 = 0{,}40,
\frac{V_{1}}{V_{2}} = 8.
Então
T_{2} = 295{,}15\\ \mathrm{K} \times 8^{\,0{,}40}.
  • Calcule 8^{0{,}40}. Uma forma prática: 8^{0{,}40}=(2^{3})^{0{,}40}=2^{1{,}20}=2\times 2^{0{,}20}.E 2^{0{,}20}=e^{0{,}20\ln 2}\approx e^{0{,}20\times 0{,}693147}=e^{0{,}138629}\approx 1{,}148698.Assim 8^{0{,}40}\approx 2\times 1{,}148698=2{,}297396.
  • Agora multiplica: T_{2}\approx 295{,}15\times 2{,}297396 \approx 677{,}7\\ \mathrm{K}.
  • Converter para Celsius (se quiser, para sensação térmica): T_{2} - 273{,}15 \approx 677{,}7 - 273{,}15 = 404{,}6^\circ\mathrm{C}.
Comentário encorajador: deu uma temperatura alta — é normal em compressão forte (razão 8), o ar aquece bastante.

Passo 6

Cálculo do volume molar no estado inicial (estado 1) usando a equação dos gases ideais:
  • A equação dos gases ideais para 1 mol é v_{m}=\frac{R_{u}\,T}{P},onde v_{m} é o volume molar (m³/mol), R_{u} é a constante universal dos gases ( 8{,}3144621\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}), T em K e P em Pa.
  • Para o estado 1: v_{m1}=\frac{R_{u}\,T_{1}}{P_{1}}=\frac{8{,}3144621\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}\times 295{,}15\\ \mathrm{K}}{95\,000\\ \mathrm{Pa}}.
  • Calcule o numerador: 8{,}3144621\times 295{,}15 \approx 2452{,}76\\ \mathrm{J/mol}.
  • Então v_{m1}\approx \frac{2452{,}76}{95\,000}\\ \mathrm{m^{3}/mol}\approx 0{,}025818\\ \mathrm{m^{3}/mol}.Em litros por mol: v_{m1}\approx 25{,}818\\ \mathrm{L/mol}.
Didática: este é o volume ocupado por um mol de ar nas condições iniciais de 22^\circ\mathrm{C} e 95\\ \mathrm{kPa}.

Passo 7

Cálculo do volume molar no estado final (estado 2):
  • A razão de compressão é \dfrac{V_{1}}{V_{2}}=8. Isso vale também para volumes molares, pois é razão de volumes: \frac{v_{m1}}{v_{m2}}=8 \quad\Rightarrow\quad v_{m2}=\frac{v_{m1}}{8}.
  • Então v_{m2}=\frac{0{,}025818\\ \mathrm{m^{3}/mol}}{8}\approx 0{,}0032273\\ \mathrm{m^{3}/mol}.Em litros por mol: v_{m2}\approx 3{,}227\\ \mathrm{L/mol}.
Verificação (consistência): se calcularmos v_{m2} pela equação dos gases ideais usando T_{2} e a pressão final P_{2} obtida via relações isentrópicas, obteríamos o mesmo v_{m2}. Aqui usamos a razão de volumes diretamente (é mais simples e exato).

Passo 8

Resumo das unidades, arredondamentos e observações finais:
  • Trabalhei em unidades SI (K para temperatura, Pa para pressão, m³/mol para volume molar).
  • Usei k=1{,}40 explicitamente extraído da Tabela A-17 do Çengel, e a constante universal R_{u}=8{,}3144621\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • Arredondei resultados apresentados a 3 ou 4 algarismos significativos, adequado para este tipo de problema de engenharia.

Resposta

T_{2}\approx 677{,}7\\ \mathrm{K} \left(\approx 404{,}6^\circ\mathrm{C}\right)
v_{m1}\approx 0{,}025818\\ \mathrm{m^{3}/mol} \left(\approx 25{,}818\\ \mathrm{L/mol}\right)
v_{m2}\approx 0{,}0032273\\ \mathrm{m^{3}/mol} \left(\approx 3{,}227\\ \mathrm{L/mol}\right)

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