2- As condições de um gás em um processo com escoamento, em estado estacionário, variam de 20^{\circ} \mathrm{C} e 1.000 kPa para 60^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa . Idealize um processo reversível sem escoamento (com qualquer número de etapas) para cumprir essa mudança de estado e calcule \Delta \mathrm{U} e \Delta \mathrm{H} para o processo com base em 1 mol de gás. Admita que, para o gás, \mathrm{PV} / \mathrm{T} seja constante, \mathrm{Cv}=5 \mathrm{R} / 2 e \mathrm{Cp}=7 \mathrm{R} / 2.

Passo 1

O enunciado dá os estados inicial e final do gás e pede duas coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    • Estado inicial: T_1 = 20^\circ\mathrm{C} e P_1 = 1{.}000\\ \mathrm{kPa}.
    • Estado final: T_2 = 60^\circ\mathrm{C} e P_2 = 100\\ \mathrm{kPa}.
    • Quantidade de gás: 1 mol.
    • Comportamento indicado: \mathrm{PV}/\mathrm{T}= constante (ou seja, o gás comporta-se como ideal).
    • Calores molares dados: C_V = \dfrac{5R}{2} e C_P = \dfrac{7R}{2}.
  • O que é requerido:
    1. Idealizar um processo reversível, sem escoamento (processo em sistema fechado), que leve o gás do estado inicial ao final (qualquer número de etapas).
    2. Calcular \Delta U e \Delta H para 1 mol de gás entre esses dois estados.

Passo 2

Proposta de processo reversível (exemplo simples e instrutivo):
  • Etapa A (reversível, à pressão constante P_1): aquecer o gás de T_1 até T_2 mantendo P=P_1. Isso leva a um estado intermediário (P_1,T_2).
  • Etapa B (reversível, à temperatura constante T_2): realizar uma expansão ou compressão isoterma reversível a T_2 para ajustar a pressão de P_1 para P_2. Isso leva ao estado final (P_2,T_2).
    Observação didática: essa sequência é perfeitamente válida porque usa somente processos reversíveis e não há escoamento (sistema fechado). Não é a única possibilidade, mas serve como exemplo concreto. Porém, como \Delta U e \Delta H são funções de estado, o valor final será o mesmo independentemente do processo escolhido.

Passo 3

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicação didática, passo a passo):
  • Para um gás ideal (comportamento indicado por \mathrm{PV} = nRT), a energia interna U depende apenas da temperatura. Em termos diferenciais, isso se escreve: \mathrm{d}U = C_V\,\mathrm{d}T,onde C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante. Aqui C_V tem unidade de \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}.
    Explicação: C_V é definido como C_V = \left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V. Para um gás ideal mono-componente sem variação de composição, U depende só de T.
  • A entalpia H é definida por H = U + PV. Para um mol de gás ideal PV = RT. Diferenciando, \mathrm{d}H = \mathrm{d}U + \mathrm{d}(PV) = C_V\,\mathrm{d}T + R\,\mathrm{d}T = (C_V + R)\,\mathrm{d}T.Portanto, define-se C_P = C_V + R e obtemos \mathrm{d}H = C_P\,\mathrm{d}T.Explicação: C_P é a capacidade calorífica molar a pressão constante e mede a variação de entalpia com temperatura a pressão fixa.
  • Conclusão prática: para qualquer processo que leve o gás de T_1 a T_2, \Delta U = \int_{T_1}^{T_2} C_V\,\mathrm{d}T = C_V\,(T_2-T_1),
\Delta H = \int_{T_1}^{T_2} C_P\,\mathrm{d}T = C_P\,(T_2-T_1),
porque C_V e C_P são dados constantes neste problema.

Passo 4

Converter temperaturas para Kelvin e calcular \Delta T:
  • T_1 = 20^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 + 20 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • T_2 = 60^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 + 60 = 333{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Portanto, \Delta T = T_2 - T_1 = 333{,}15 - 293{,}15 = 40{,}00\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular \Delta U simbolicamente e numericamente:
  • Usando C_V = \dfrac{5R}{2} e a fórmula \Delta U = C_V\,\Delta T, \Delta U = \frac{5R}{2}\,(T_2-T_1).Substituindo \Delta T = 40{,}00\\ \mathrm{K}, \Delta U = \frac{5R}{2}\cdot 40 = \left(\frac{5}{2}\cdot 40\right)R = 100\,R.
  • Agora valor numérico (usar R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}): \Delta U = 100\cdot 8{,}314 = 831{,}4\\ \mathrm{J\; (por\;mol)}.

Passo 6

Calcular \Delta H simbolicamente e numericamente:
  • Usando C_P = \dfrac{7R}{2} e \Delta H = C_P\,\Delta T, \Delta H = \frac{7R}{2}\,(T_2-T_1).Substituindo \Delta T = 40{,}00\\ \mathrm{K}, \Delta H = \frac{7R}{2}\cdot 40 = \left(\frac{7}{2}\cdot 40\right)R = 140\,R.
  • Valor numérico com R = 8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}: \Delta H = 140\cdot 8{,}314 = 1\,163{,}96\\ \mathrm{J\; (por\;mol)}.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida:
  • Os resultados são positivos porque a temperatura aumentou ( \Delta T>0), logo tanto a energia interna quanto a entalpia aumentaram.
  • Verificação simples da consistência: C_P - C_V = R (aqui \tfrac{7R}{2}-\tfrac{5R}{2}=R), e de fato \Delta H - \Delta U = R\,\Delta T = 8{,}314\cdot 40 = 332{,}56\\ \mathrm{J}. Calculando pelos valores achados: 1\,163{,}96 - 831{,}40 = 332{,}56\\ \mathrm{J},que confirma consistência interna dos cálculos.

Resposta

\Delta U = 831{,}4\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}
\Delta H = 1\,163{,}96\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}

Exercícios relacionados