Ar, tratado como gás ideal, com
, passa por um ciclo de processos reversíveis composto pelas seguintes etapas:
A. Compressão isotérmica do estado inicial (estado 1):
e
até a pressão
;
B. Expansão a partir do estado 2 a pressão constante, recebendo calor, até que a temperatura atinja 650 K (estado 3);
C. Expansão adiabática do estado 3 até o estado 1.
a) Calcule calor, trabalho e variações de energia interna, entalpia e entropia para cada etapa do ciclo e para o ciclo completo.
b) Calcule a eficiência térmica do ciclo.
A. Compressão isotérmica do estado inicial (estado 1):
B. Expansão a partir do estado 2 a pressão constante, recebendo calor, até que a temperatura atinja 650 K (estado 3);
C. Expansão adiabática do estado 3 até o estado 1.
a) Calcule calor, trabalho e variações de energia interna, entalpia e entropia para cada etapa do ciclo e para o ciclo completo.
b) Calcule a eficiência térmica do ciclo.
Passo 1
O enunciado dá um ciclo reversível com três etapas para um gás ideal (Ar) e pede, para cada etapa e para o ciclo completo, os valores de calor
, trabalho
, variação de energia interna
, variação de entalpia
e variação de entropia
, além da eficiência térmica do ciclo. Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Pressão e temperatura iniciais:
, . - Volume inicial:
. - Pressão estado 2:
. - Estado 3: temperatura
. O processo 2→3 é a pressão constante até chegar em . - Capacidade molar a pressão constante fornecida:
(usar exatamente este valor). - Tratar o gás como ideal com a constante universal
.
O que precisamos calcular:
- Para cada etapa A (compressão isotérmica
), B (expansão isobárica ), C (expansão adiabática ): . - Para o ciclo completo: somas (especialmente
). - Eficiência térmica
(tomar como soma apenas dos calores recebidos, i.e., termos positivos).
Antes de começar os cálculos a fundo, calculo o número de mols
usando a equação do gás ideal:
Passo 2
Cálculo de propriedades básicas e constantes auxiliares (aulas rápidas sobre fórmulas que vou usar).
- Número de mols
.
Comentário didático: a equação do gás ideal
relaciona pressão, volume, temperatura e número de mols. Aqui isolamos
.
- Capacidades e
.
Comentário didático: para gás ideal,
. A razão
aparece nas relações adiabáticas.
- Volumes nos estados 2 e 3 (usando
ou relações entre estados quando aplicável).
Estado 2 (isotérmico desde 1 até 2, logo
). Posso obter
por proporcionalidade
:
Estado 3 (processo isobárico
,
porque
constante):
Comentário didático: em processo isotérmico
constante; em isobárico
.
Passo 3
Etapa A: compressão isotérmica reversível
a
.
Fórmulas importantes (aula curta):
- Para processo isotérmico de gás ideal (reversível), a variação de energia interna
porque e . - Trabalho realizado pelo gás (sinal positivo se o gás realiza trabalho) é
- Calor trocado
satisfaz , então para isotérmico . - Variação de entropia
(aqui constante).
Cálculos numéricos:
Como
, segue
Variação de entalpia:
(porque
).
Entropia:
Breve interpretação: compressão isotérmica reversível exige retirada de calor do gás (Q negativo); a entropia do gás diminui.
Passo 4
Etapa B: expansão isobárica reversível
(pressão
constante), aquecendo até
.
Fórmulas (aula curta):
- Trabalho a pressão constante (trabalho realizado pelo gás):
- Calor trocado a pressão constante (molar):
. - Variação de energia interna:
. - Variação de entalpia:
. - Variação de entropia (processo reversível):
.
Cálculos numéricos:
Temperatura inicial aqui
. Então
.
Calor fornecido:
Trabalho (usar expressão
alternativa fácil, porque
constante e
):
Energia interna:
Entalpia:
Entropia:
onde usei
para facilitar.
Interpretação: nesta etapa o sistema recebe calor (Q positivo) e realiza trabalho enquanto sua energia interna e entalpia aumentam.
Passo 5
Etapa C: expansão adiabática reversível
(que fecha o ciclo).
Fórmulas (aula curta):
- Para adiabática reversível de gás ideal,
e . -
. -
. - Trabalho
pode ser obtido de com , logo .
Cálculos numéricos:
Trabalho:
Entalpia:
Interpretação: nesta etapa o gás expande adiabaticamente realizando trabalho; sua energia interna e entalpia diminuem.
Passo 6
Soma sobre o ciclo e verificação de consistência (aula rápida sobre conservação):
Soma dos calores:
Soma dos trabalhos:
Soma das variações de energia interna:
como esperado (processo cíclico retorna ao estado inicial).
Soma das variações de entalpia:
Soma das variações de entropia (teoricamente zero para ciclo reversível):
valor muito próximo de zero — diferença é numérica (arredondamentos). Para um ciclo reversível fechado,
teoricamente.
Passo 7
Eficiência térmica do ciclo.
Definição e comentário didático:
- Eficiência térmica
é a razão entre trabalho líquido produzido e calor absorvido das fontes quentes:
- Aqui o calor absorvido (positivo) é apenas
(porque é negativo, isto é, calor rejeitado). Assim .
Cálculo numérico:
Interpretação: o ciclo converte cerca de
do calor absorvido em trabalho.
Resposta
A etapa A (isotérmica
):
A etapa B (isobárica
):
A etapa C (adiabática
):
Ciclo completo (somas):
(numericamente
por arredondamento)
Eficiência térmica: