As condições de um gás em um processo com escoamento, em estado estacionário, variam de 20^{\circ} \mathrm{C} e 1.000 kPa para 60^{\circ} \mathrm{C} e 100 kPa . Idealize um processo reversível sem escoamento (com qualquer número de etapas) para cumprir essa mudança de estado e calcule \Delta U e \Delta H para o processo com base em 1 mol de gás. Admita que, para o gás, P V / T seja constante, C_{V}=(5 / 2) R e C_{P}=(7 / 2) R.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Estado inicial:
    • Temperatura T_1 = 20^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão P_1 = 1000\\ \mathrm{kPa}.
  • Estado final:
    • Temperatura T_2 = 60^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão P_2 = 100\\ \mathrm{kPa}.
  • Quantidade de gás: n=1 mol.
  • Hipóteses fornecidas:
    • \dfrac{P V}{T} é constante (comportamento de gás ideal para a amostra fixa).
    • C_V = \dfrac{5}{2}R (capacidade térmica molar a volume constante).
    • C_P = \dfrac{7}{2}R (capacidade térmica molar a pressão constante).
  • O enunciado pede:
    • Idealizar um processo reversível sem escoamento que leve do estado inicial ao final (nota: a escolha do processo não altera \Delta U e \Delta H para um gás ideal, pois são funções de estado).
    • Calcular \Delta U e \Delta H para 1 mol do gás, usando as informações acima.

Passo 2

Converter temperaturas e calcular a variação de temperatura.
  • Converter graus Celsius para Kelvin: para variações de temperatura basta subtrair, mas é boa prática mostrar as temperaturas absolutas: T_1 = 20^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_2 = 60^\circ\mathrm{C} = 333{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Diferença de temperatura: \Delta T = T_2 - T_1 = 333{,}15 - 293{,}15 = 40{,}0\\ \mathrm{K}.
Observação amigável: o aumento de 40\\ \mathrm{K} é igual a 40^\circ\mathrm{C} — para diferenças a escala Kelvin e Celsius coincidem.

Passo 3

Explicar por que \Delta U depende só da temperatura e escrever a fórmula que vamos usar.
  • Para um gás ideal (hipótese dada por PV/T= constante para a amostra), a energia interna molar U depende apenas da temperatura. Isso significa que a variação de energia interna entre dois estados é independente do caminho e satisfaz: dU = C_V\,dT,onde C_V é a capacidade térmica molar a volume constante, com unidades \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Integrando entre T_1 e T_2 para n mols: \Delta U = n\int_{T_1}^{T_2} C_V\,dT = n C_V (T_2-T_1).
  • Substituindo n=1 e C_V=\dfrac{5}{2}R: \Delta U = 1\cdot \frac{5}{2}R\Delta T = \frac{5}{2}R\Delta T.
  • Agora calcular numericamente. Usarei a constante dos gases perfeitos R = 8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.Logo \Delta U = \frac{5}{2}\cdot 8{,}314\cdot 40{,}0
8{,}314\cdot 40{,}0 = 332{,}56
\Delta U = \frac{5}{2}\cdot 332{,}56 = 2{,}5\cdot 332{,}56 = 831{,}4\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Explicar a entalpia e calcular \Delta H.
  • A entalpia molar H para um gás ideal também depende somente da temperatura. A relação diferencial é dH = C_P\,dT,onde C_P é a capacidade térmica molar a pressão constante.
  • Integrando: \Delta H = n C_P (T_2-T_1).
  • Substituindo n=1 e C_P=\dfrac{7}{2}R: \Delta H = \frac{7}{2}R\Delta T.
  • Calcular numericamente: \Delta H = \frac{7}{2}\cdot 8{,}314\cdot 40{,}0.Podemos fazer em passos: \frac{7}{2}=3{,}5,\qquad 8{,}314\cdot 40{,}0 = 332{,}56,
\Delta H = 3{,}5\cdot 332{,}56 = 1\,163{,}96\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Verificações e comentário sobre o processo escolhido.
  • Verificação de consistência das capacidades térmicas: C_P-C_V = \left(\frac{7}{2}R\right)-\left(\frac{5}{2}R\right)=R,o que confirma a relação clássica C_P-C_V=R para gás ideal — ótima consistência com as escolhas dadas.
  • Comentário sobre o processo: qualquer processo reversível sem escoamento que leve do estado inicial ao final serve (por exemplo, um caminho com uma etapa isotérmica seguida de uma isobárica ajustada, ou uma sequência infinitesimal reversível). As variáveis de estado U e H dependem só dos estados inicial e final, por isso o caminho não altera \Delta U nem \Delta H.

Resposta

\Delta U = 831{,}4\\ \mathrm{J}
\Delta H = 1\,163{,}96\\ \mathrm{J}

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