Deduza a equação para o trabalho na compressão isotérmica reversível de 1 mol de gás em um dispositivo êmbolo/cilindro, sendo o volume molar do gás dado por
Passo 1
O enunciado pede: deduzir a equação do trabalho durante uma compressão isotérmica reversível de 1 mol de gás, sabendo que o volume molar satisfaz
Informações dadas e o que vamos precisar:
- É
mol de gás. - A temperatura
é constante (processo isotérmico). - A relação entre volume molar
e pressão é ; aqui é a constante dos gases, é uma constante do gás (volume excluído) e é a pressão. - Queremos a expressão do trabalho entre um estado inicial com volume
e um estado final com volume (compressão reversível significa que ). Podemos também escrever a resposta em função das pressões iniciais e finais e . - Convenção de sinais: explicarei claramente o que significa cada fórmula (trabalho realizado pelo gás e trabalho realizado sobre o gás).
Passo 2
Isolar a pressão em função do volume para poder integrar:
a partir de
a partir de
fazendo álgebra simples (subtrair
e inverter) obtemos
Explicação rápida: isolou-se
porque o trabalho infinitesimal em processos quasi-estáticos é expresso em termos de
vezes
; assim precisamos de
como função de
.
Passo 3
Escrever a definição do trabalho em um processo reversível e explicar sinais:
- Definição (convenção de física): o trabalho realizado pelo sistema ao longo do processo quasi-estático é
Aqui
é a variação infinitesimal de volume e
é a pressão do gás (igual à pressão externa no processo reversível). Se preferir a convenção química (onde
é o trabalho realizado SOBRE o sistema), então
Vou calcular
primeiro e depois escrever
.
Passo 4
Substituir
por
na integral e integrar:
Tirar
(constantes) para fora da integral:
A primitiva de
em relação a
é
. Como
na faixa física considerada, podemos escrever:
Portanto
Passo 5
Obter formas alternativas (em função de pressões) e comentar sinal:
Usando temos para os estados 1 e 2:
Usando
Assim a expressão do trabalho pode ser escrita também como
Agora a convenção de sinais:
- Se definimos
como o trabalho realizado pelo gás, a expressão acima vale literalmente; para compressão com ou teremos (o gás realiza trabalho negativo, isto é, o trabalho é feito sobre ele). - O trabalho realizado SOBRE o gás é
Passo 6
Resumo interpretativo (motivação para a prova):
- A integração usou uma primitiva simples (
). Isso é típico de leis do tipo — reconhecer esse padrão já dá pista de usar . - Para aplicar na prova: escreva sempre
, coloque constantes fora da integral, integre 1/(V - constante) para obter logaritmo, e evaluar entre limites. - Lembre-se de dizer claramente qual convenção de sinal está usando (trabalho pelo gás ou trabalho sobre o gás), porque ambas aparecem na literatura/questões de prova.