Deduza a equação para o trabalho na compressão isotérmica reversível de 1 mol de gás em um dispositivo êmbolo/cilindro, sendo o volume molar do gás dado por
V=\frac{R T}{P}+b

Passo 1

O enunciado pede: deduzir a equação do trabalho durante uma compressão isotérmica reversível de 1 mol de gás, sabendo que o volume molar satisfaz
V=\frac{R T}{P}+b.
Informações dadas e o que vamos precisar:
  • É 1 mol de gás.
  • A temperatura T é constante (processo isotérmico).
  • A relação entre volume molar V e pressão P é \displaystyle V=\frac{R T}{P}+b; aqui R é a constante dos gases, b é uma constante do gás (volume excluído) e P é a pressão.
  • Queremos a expressão do trabalho entre um estado inicial com volume \displaystyle V_1 e um estado final com volume \displaystyle V_2 (compressão reversível significa que V_2<V_1). Podemos também escrever a resposta em função das pressões iniciais e finais P_1 e P_2.
  • Convenção de sinais: explicarei claramente o que significa cada fórmula (trabalho realizado pelo gás e trabalho realizado sobre o gás).

Passo 2

Isolar a pressão em função do volume para poder integrar:
a partir de
V=\frac{R T}{P}+b
fazendo álgebra simples (subtrair b e inverter) obtemos
V-b=\frac{R T}{P}\quad\Rightarrow\quad P=\frac{R T}{V-b}.
Explicação rápida: isolou-se P porque o trabalho infinitesimal em processos quasi-estáticos é expresso em termos de P vezes dV; assim precisamos de P como função de V.

Passo 3

Escrever a definição do trabalho em um processo reversível e explicar sinais:
  • Definição (convenção de física): o trabalho realizado pelo sistema ao longo do processo quasi-estático é
w_{\text{by}}=\int_{V_1}^{V_2} P\,dV.
Aqui \,dV é a variação infinitesimal de volume e P é a pressão do gás (igual à pressão externa no processo reversível). Se preferir a convenção química (onde w é o trabalho realizado SOBRE o sistema), então
w_{\text{on}}=-w_{\text{by}}.
Vou calcular w_{\text{by}} primeiro e depois escrever w_{\text{on}}.

Passo 4

Substituir P por \dfrac{R T}{V-b} na integral e integrar:
w_{\text{by}}=\int_{V_1}^{V_2} \frac{R T}{V-b}\,dV.
Tirar R T (constantes) para fora da integral:
w_{\text{by}}=R T\int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V-b}\,dV.
A primitiva de \dfrac{1}{V-b} em relação a V é \ln|V-b|. Como V-b>0 na faixa física considerada, podemos escrever:
\int_{V_1}^{V_2}\frac{1}{V-b}\,dV=\ln\!\big(V_2-b\big)-\ln\!\big(V_1-b\big)=\ln\!\left(\frac{V_2-b}{V_1-b}\right).
Portanto
w_{\text{by}}=R T\ln\!\left(\frac{V_2-b}{V_1-b}\right).

Passo 5

Obter formas alternativas (em função de pressões) e comentar sinal:
Usando \displaystyle P=\frac{R T}{V-b} temos para os estados 1 e 2:
\frac{P_1}{P_2}=\frac{(R T)/(V_1-b)}{(R T)/(V_2-b)}=\frac{V_2-b}{V_1-b}.
Assim a expressão do trabalho pode ser escrita também como
w_{\text{by}}=R T\ln\!\left(\frac{P_1}{P_2}\right).
Agora a convenção de sinais:
  • Se definimos w_{\text{by}} como o trabalho realizado pelo gás, a expressão acima vale literalmente; para compressão com V_2<V_1 ou P_2>P_1 teremos w_{\text{by}}<0 (o gás realiza trabalho negativo, isto é, o trabalho é feito sobre ele).
  • O trabalho realizado SOBRE o gás é
w_{\text{on}}=-w_{\text{by}}=-R T\ln\!\left(\frac{V_2-b}{V_1-b}\right)=R T\ln\!\left(\frac{V_1-b}{V_2-b}\right)=R T\ln\!\left(\frac{P_2}{P_1}\right).

Passo 6

Resumo interpretativo (motivação para a prova):
  • A integração usou uma primitiva simples ( \ln|V-b|). Isso é típico de leis do tipo P\propto 1/(V-b) — reconhecer esse padrão já dá pista de usar \ln.
  • Para aplicar na prova: escreva sempre P(V), coloque constantes fora da integral, integre 1/(V - constante) para obter logaritmo, e evaluar entre limites.
  • Lembre-se de dizer claramente qual convenção de sinal está usando (trabalho pelo gás ou trabalho sobre o gás), porque ambas aparecem na literatura/questões de prova.

Resposta

w_{\text{by}}=R T\ln\!\left(\dfrac{V_2-b}{V_1-b}\right)=R T\ln\!\left(\dfrac{P_1}{P_2}\right)
w_{\text{on}}=-w_{\text{by}}=-R T\ln\!\left(\dfrac{V_2-b}{V_1-b}\right)=R T\ln\!\left(\dfrac{V_1-b}{V_2-b}\right)=R T\ln\!\left(\dfrac{P_2}{P_1}\right)

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