3- Determinar a eficiência e a geração de entropia de uma turbina a gás. Esta turbina possui compressor com eficiência isoentrópica do compressor de 85 \%, a perda de carga da câmara de combustão de 1 \% em relação a pressão de entrada do ar na câmara de combustão, e a eficiência isoentrópica do expansor de 90 \%. Considerar que a TIT é de 1200[ C], pressão e temperatura do ar na entrada do compressor são 100 kPa e 300 K , respectivamente.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede: determinar a eficiência e a geração de entropia de uma turbina a gás. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Pressão na entrada do compressor: p_1=100\\ \text{kPa}.
  • Temperatura na entrada do compressor: T_1=300\\ \text{K}.
  • Eficiência isoentrópica do compressor: \eta_c=85\% = 0{,}85.
  • Queda de pressão na câmara de combustão: 1\% em relação à pressão de entrada do ar na câmara (ou seja, p_3 = 0{,}99\,p_2).
  • Eficiência isoentrópica do expansor (turbina): \eta_t=90\% = 0{,}90.
  • Temperatura de entrada da turbina (TIT): \text{TIT}=1200\,^\circ\text{C} = 1473\\ \text{K}.
  • Assumi (hipótese padrão para ar como fluido de trabalho, já que não foi dado): ar como gás perfeito com capacidade calorífica constante:
    • c_p=1{,}005\\ \text{kJ/(kg·K)},
    • R=0{,}287\\ \text{kJ/(kg·K)},
    • \gamma=1{,}4.
      O enunciado NÃO informa a razão de pressão (pressão de saída do compressor relativa à entrada), isto é, r_p=\dfrac{p_2}{p_1}. Portanto não há um número único para eficiência e geração de entropia sem especificar r_p. Vou:
  • Derivar as fórmulas em função de r_p (isso permite aplicar qualquer razão de pressão que for exigida na prova).
  • Apresentar um cálculo numérico de exemplo para uma razão de pressão típica \,r_p=10 (vou explicar cada passo; se na sua prova o r_p for outro, você substitui e repete os cálculos).

Passo 2

Modelo do ciclo (Brayton simples, sem regeneração):
  • Estado 1: entrada do compressor (p_1,T_1).
  • Estado 2s: saída ideal (isoentrópica) do compressor; estado 2: saída real do compressor.
  • Estado 3: saída da câmara de combustão / entrada da turbina (p_3,T_3) com T_3= TIT =1473\\ \text{K} e p_3=0{,}99\,p_2.
  • Estado 4s: saída isoentrópica da turbina; estado 4: saída real da turbina (assumimos p_4=p_1, exaustão ao ambiente).
    Hipóteses padrão e fórmulas que vamos usar (explico o porquê em cada uma quando aparecerem):
  • Para processo isoentrópico ideal em gás perfeito: T_{2s} = T_1 \, r_p^{(\gamma-1)/\gamma} \quad\text{e}\quad T_{4s} = T_3 \left(\dfrac{p_4}{p_3}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}.Aqui r_p=\dfrac{p_2}{p_1} e \dfrac{p_4}{p_3}=\dfrac{p_1}{0{,}99\,p_2}=\dfrac{1}{0{,}99\,r_p}.
  • Definição de eficiência isoentrópica (compressor): \eta_c = \dfrac{T_{2s}-T_1}{T_2-T_1} \quad\Rightarrow\quad T_2 = T_1 + \dfrac{T_{2s}-T_1}{\eta_c}.(Interpretação: trabalho real do compressor é maior que o ideal; \eta_c é a razão entre trabalho ideal e real.)
  • Definição de eficiência isoentrópica (turbina): \eta_t = \dfrac{T_3-T_4}{T_3-T_{4s}} \quad\Rightarrow\quad T_4 = T_3 - \eta_t\,(T_3-T_{4s}).(Interpretação: trabalho real extraído pela turbina é menor que o ideal.)
  • Com c_p constante, os calores e trabalhos específicos (por kg) são: w_c = c_p (T_2-T_1),\qquad w_t = c_p (T_3-T_4),\qquad q_{in} = c_p (T_3-T_2).A eficiência térmica do ciclo é \eta = \dfrac{w_t - w_c}{q_{in}} = 1 - \dfrac{T_4-T_1}{T_3-T_2}.
  • Para variação de entropia do ar entre dois estados de gás perfeito: \Delta s = c_p \ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right) - R \ln\!\left(\dfrac{p_2}{p_1}\right).Essa fórmula será usada para obter \,s_2-s_1, s_3-s_2 e s_4-s_3. Para componentes adiabáticos (compressor e turbina) sem transferência de calor, a variação de entropia do fluido numa passagem é igual à entropia gerada naquele componente (isto é, s_{gen,comp}=s_2-s_1 e s_{gen,turb}=s_4-s_3). Para a câmara de combustão, a situação é mais complicada porque há adição de energia química (combustível); podemos, no entanto, calcular a variação de entropia do ar s_3-s_2 — isso dá a variação de entropia do fluido, mas a entropia gerada dentro da câmara de combustão também depende da entropia trazida pelo combustível (dados não fornecidos), então não é possível obter a entropia gerada total da combustão sem informação sobre o combustível/temperatura da fonte. Vou, portanto:
    • calcular exatamente s_2-s_1 e s_4-s_3 (geraçõess nos dispositivos adiabáticos),
    • calcular s_3-s_2 (variação de entropia do ar na combustão),
    • explicar a limitação para dar o valor total de geração de entropia da planta completa.

Passo 3

Escrevo as expressões em função de r_p.
  1. Temperatura após compressão isoentrópica ideal:
T_{2s} = T_1\, r_p^{(\gamma-1)/\gamma}.
  1. Temperatura real de saída do compressor (pela definição de \eta_c):
T_2 = T_1 + \dfrac{T_{2s}-T_1}{\eta_c}.
  1. Pressões:
p_2 = r_p\,p_1,\qquad p_3 = 0{,}99\,p_2 = 0{,}99\,r_p\,p_1,\qquad p_4 = p_1.
  1. Temperatura isoentrópica de saída da turbina:
T_{4s} = T_3\left(\dfrac{p_4}{p_3}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} = T_3\left(\dfrac{1}{0{,}99\,r_p}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}.
  1. Temperatura real de saída da turbina:
T_4 = T_3 - \eta_t\,(T_3-T_{4s}).
  1. Trabalhos e calor (por kg):
w_c = c_p (T_2-T_1),\qquad w_t = c_p (T_3-T_4),\qquad q_{in}=c_p(T_3-T_2).
  1. Eficiência térmica:
\eta = 1 - \dfrac{T_4-T_1}{T_3-T_2}.
  1. Variações de entropia (por kg, em \text{kJ/(kg·K)}):
s_2-s_1 = c_p\ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\!\left(r_p\right),
s_3-s_2 = c_p\ln\!\left(\dfrac{T_3}{T_2}\right) - R\ln\!\left(\dfrac{p_3}{p_2}\right) = c_p\ln\!\left(\dfrac{T_3}{T_2}\right) - R\ln(0{,}99),
s_4-s_3 = c_p\ln\!\left(\dfrac{T_4}{T_3}\right) - R\ln\!\left(\dfrac{p_4}{p_3}\right) = c_p\ln\!\left(\dfrac{T_4}{T_3}\right) - R\ln\!\left(\dfrac{1}{0{,}99\,r_p}\right).
Observações de interpretação pedagógica: para o compressor e a turbina (dispositivos essencialmente adiabáticos), a entropia ganhada pelo fluido é exatamente a entropia gerada nesses dispositivos; por isso podemos calcular s_{gen,comp}=s_2-s_1 e s_{gen,turb}=s_4-s_3. Já a câmara de combustão envolve transformação química — o cálculo da entropia gerada total na combustão exige conhecer a entropia do combustível e a maneira como o calor é fornecido; portanto só o incremento do ar ( s_3-s_2) pode ser calculado sem outros dados.

Passo 4

Agora faço um exemplo numérico com razão de pressão típica \,r_p=10 (se a sua prova der outro r_p, substitua o valor e repita os cálculos abaixo; eu mostro cada conta detalhada para você conseguir replicar à mão).
Constantes usadas:
T_1=300\\ \text{K},\quad T_3=1473\\ \text{K},\quad c_p=1{,}005\\ \text{kJ/(kg·K)},\quad R=0{,}287\\ \text{kJ/(kg·K)},\quad \gamma=1{,}4.
Expoente \dfrac{\gamma-1}{\gamma} = \dfrac{0{,}4}{1{,}4} = 0{,}285714.
  1. Calcular T_{2s}:
T_{2s} = 300 \times 10^{0{,}285714} \approx 300\times 1{,}9316 = 579{,}48\\ \text{K}.
  1. Calcular T_2 com \eta_c=0{,}85:
T_2 = 300 + \dfrac{579{,}48-300}{0{,}85} = 300 + \dfrac{279{,}48}{0{,}85} \approx 300 + 328{,}80 = 628{,}80\\ \text{K}.
  1. Pressões:
p_2 = r_p p_1 = 10\times 100 = 1000\\ \text{kPa},\qquad p_3 = 0{,}99\,p_2 = 990\\ \text{kPa}.
  1. Calcular T_{4s}:
T_{4s} = 1473\left(\dfrac{1}{0{,}99\times 10}\right)^{0{,}285714} =1473\times(0{,}1010101)^{0{,}285714}\approx1473\times 0{,}5190 \approx 764{,}2\\ \text{K}.
  1. Calcular T_4 com \eta_t=0{,}90:
T_4 = 1473 - 0{,}90\times(1473-764{,}2) =1473 - 0{,}90\times708{,}8 \approx 1473 - 637{,}92 = 835{,}08\\ \text{K}.
  1. Trabalhos e calor (por kg):
w_c = c_p(T_2-T_1)=1{,}005(628{,}80-300)=1{,}005\times 328{,}80\approx 330{,}44\\ \text{kJ/kg},
w_t = c_p(T_3-T_4)=1{,}005(1473-835{,}08)=1{,}005\times 637{,}92\approx 641{,}10\\ \text{kJ/kg},
q_{in}=c_p(T_3-T_2)=1{,}005(1473-628{,}80)=1{,}005\times 844{,}20\approx 848{,}42\\ \text{kJ/kg}.
  1. Eficiência térmica:
\eta = \dfrac{w_t-w_c}{q_{in}} = \dfrac{641{,}10-330{,}44}{848{,}42} = \dfrac{310{,}66}{848{,}42}\approx 0{,}3661 \approx 36{,}61\%.
(ou usando a forma equivalente \eta=1-(T_4-T_1)/(T_3-T_2) dá o mesmo número.)

Passo 5

Calcular as variações de entropia (e interpretar como geração de entropia para dispositivo adiabático).
  1. Compressor (adiabático, portanto entropia gerada no compressor é \,s_{gen,comp}=s_2-s_1):
s_2-s_1 = c_p\ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right) - R\ln\!\left(r_p\right).
Numericamente (com r_p=10):
\ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)=\ln\!\left(\dfrac{628{,}80}{300}\right)\approx 0{,}7401,
c_p\ln\!\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)\approx 1{,}005\times 0{,}7401=0{,}74445\\ \text{kJ/(kg·K)},
R\ln(r_p)=0{,}287\times\ln(10)=0{,}287\times 2{,}302585\approx 0{,}66164\\ \text{kJ/(kg·K)},
s_2-s_1 \approx 0{,}74445 - 0{,}66164 = 0{,}08281\\ \text{kJ/(kg·K)}.
Logo s_{gen,comp}\approx 0{,}0828\\ \text{kJ/(kg·K)}.
  1. Turbina (adiabática, entropia gerada no expansor s_{gen,turb}=s_4-s_3):
s_4-s_3 = c_p\ln\!\left(\dfrac{T_4}{T_3}\right) - R\ln\!\left(\dfrac{p_4}{p_3}\right).
Numericamente:
\ln\!\left(\dfrac{T_4}{T_3}\right)=\ln\!\left(\dfrac{835{,}08}{1473}\right)\approx -0{,}5670,
c_p\ln\!\left(\dfrac{T_4}{T_3}\right)\approx 1{,}005\times(-0{,}5670)=-0{,}5698\\ \text{kJ/(kg·K)},
\ln\!\left(\dfrac{p_4}{p_3}\right)=\ln\!\left(\dfrac{1}{0{,}99\times 10}\right)=\ln(0{,}1010101)\approx -2{,}2937,
- R\ln\!\left(\dfrac{p_4}{p_3}\right) = -0{,}287\times(-2{,}2937)=+0{,}6581\\ \text{kJ/(kg·K)},
s_4-s_3 \approx -0{,}5698 + 0{,}6581 = 0{,}0883\\ \text{kJ/(kg·K)}.
Logo s_{gen,turb}\approx 0{,}0883\\ \text{kJ/(kg·K)}.
  1. Câmara de combustão — variação de entropia do ar entre 2 e 3 (isto NÃO é, por si só, a entropia gerada total na combustão, mas é a variação do fluido de trabalho):
s_3-s_2 = c_p\ln\!\left(\dfrac{T_3}{T_2}\right) - R\ln(0{,}99).
Numericamente:
\ln\!\left(\dfrac{T_3}{T_2}\right)=\ln\!\left(\dfrac{1473}{628{,}80}\right)\approx 0{,}8521,
c_p\ln\!\left(\dfrac{T_3}{T_2}\right)\approx 1{,}005\times 0{,}8521=0{,}8564,
- R\ln(0{,}99) = -0{,}287\times(-0{,}01005)=+0{,}00288,
s_3-s_2 \approx 0{,}8564 + 0{,}00288 = 0{,}8593\\ \text{kJ/(kg·K)}.
Interpretação: o ar ganha cerca de 0{,}8593\\ \text{kJ/(kg·K)} de entropia ao passar pela câmara (parte disso se deve ao aumento de temperatura, parte à pequena queda de pressão). A entropia gerada total dentro da câmara de combustão (incluindo a contribuição do combustível) NÃO pode ser determinada sem dados sobre o combustível/temperatura da fonte; para a maioria dos exercícios introdutórios, apresenta-se s_3-s_2 como a variação de entropia do ar e aponta-se a limitação.
  1. Soma das gerações nas partes adiabáticas (compressor+turbina):
s_{gen,comp}+s_{gen,turb}\approx 0{,}08281+0{,}08826\approx 0{,}17107\\ \text{kJ/(kg·K)}.

Passo 6

Resumo interpretativo (motivação para a prova):
  • A eficiência do ciclo depende fortemente de r_p e da TIT. Mantendo TIT fixa, aumentar r_p costuma aumentar a eficiência até certo ponto prático; as fórmulas dadas permitem você calcular rapidamente a eficiência para qualquer r_p.
  • A geração de entropia em dispositivos adiabáticos (compressor e turbina) é diretamente obtida pela variação de entropia do ar nesses dispositivos; isso mede as irreversibilidades internas (perdas de rendimento). A câmara de combustão quase sempre introduz grande aumento de entropia do ar (aqui s_3-s_2 é grande), e parte disso é irreversibilidade interna da combustão que só pode ser totalmente quantificada sabendo-se os detalhes do combustível/fonte.
  • Procedimento passo a passo para a prova: 1) calcule T_{2s} pela relação isoentrópica; 2) calcule T_2 usando \eta_c; 3) use queda de pressão para obter p_3; 4) calcule T_{4s} e depois T_4 usando \eta_t; 5) calcule w_c,w_t,q_{in} e a eficiência; 6) calcule variações de entropia com a fórmula dada para \Delta s.

Resposta

Eficiência térmica (para r_p=10): \displaystyle \eta \approx 0{,}3661 \approx 36{,}61\%.
Geração de entropia específica no compressor: \displaystyle s_{gen,comp}=s_2-s_1\approx 0{,}08281\\ \text{kJ/(kg·K)}.
Geração de entropia específica na turbina: \displaystyle s_{gen,turb}=s_4-s_3\approx 0{,}08826\\ \text{kJ/(kg·K)}.
Variação de entropia do ar na câmara de combustão (air only): \displaystyle s_3-s_2\approx 0{,}8593\\ \text{kJ/(kg·K)}.
Soma das gerações nos dispositivos adiabáticos (compressor+turbina): \displaystyle 0{,}17107\\ \text{kJ/(kg·K)}.
(Se quiser os resultados simbólicos em função de r_p ou repetir os cálculos para outro r_p, eu faço isso na hora — substitua r_p nas fórmulas do Passo 3 e repita os cálculos aritméticos.)

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