1- Ar entra em um compressor de uma turbina a gás na pressão de 14 psia e temperatura de 520 R . As esficiências isoentrópicas do compressor e da turbina são 87 \% and 83 \%, respetivamente. O compressor tem uma razão de compressão de 14 e a temperatura dos gases na entrada da turbina é de 2500 R . A potência desenvolvida pela turbina é de 5 \times 10^{6} \mathrm{Btu} / \mathrm{hr}. Calcular: a) a vazão volumétrica de ar que entra no compressor; b) as temperaturas de saída do compressor e da turbina; c) eficiência térmica do ciclo.

Passo 1

O enunciado e os dados relevantes (peguei todos do enunciado):
  • Condições na entrada do compressor:
    • P_1 = 14\\ \mathrm{psia}
    • T_1 = 520\\ \mathrm{R}
  • Razão de compressão do compressor: \pi_c = 14 (ou seja P_2 = \pi_c P_1)
  • Eficiências isoentrópicas:
    • compressor: \eta_c = 0{,}87
    • turbina: \eta_t = 0{,}83
  • Temperatura na entrada da turbina: T_3 = 2500\\ \mathrm{R}
  • Potência desenvolvida pela turbina: \dot{W}_t = 5\times 10^{6}\\ \mathrm{Btu/h}
  • O que pedem:
    a) vazão volumétrica de ar que entra no compressor;
    b) temperaturas de saída do compressor e da turbina ( T_2 e T_4);
    c) eficiência térmica do ciclo.
Assunções que vou usar (comuníssimas para esse tipo de problema; explico por que as escolhi mais adiante):
  • Ar tratado como gás ideal com calores específicos constantes.
  • Valor adotado para o calor específico a pressão constante: c_p = 0{,}24\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot R)}.
  • Constante do gás para o ar: R = 0{,}06855\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot R)}.
  • A razão adiabática aproximada fica \gamma = \dfrac{c_p}{c_p - R}\approx 1{,}4.
  • O processo de combustão entre compressor e turbina é aproximadamente isobárico, logo P_3 = P_2 e a turbina expande até P_4 = P_1. Portanto a relação de expansão da turbina é também \pi_c.

Passo 2

Breve aula sobre relação isoentrópica e eficiência isoentrópica do compressor (passo a passo didático).
  • Para um gás ideal com \gamma constante, numa compressão isoentrópica teórica a temperatura de saída satisfaz:
T_{2s} = T_1\;\pi_c^{(\gamma-1)/\gamma}.
Aqui T_{2s} é a temperatura de saída na compressão ideal (isentropicamente).
  • A eficiência isoentrópica do compressor \eta_c é definida como a razão entre o aumento de entalpia (ou temperatura) na compressão isentrópica e o aumento real:
\eta_c = \frac{T_{2s}-T_1}{T_2 - T_1}.
Dessa equação isolamos a temperatura real de saída do compressor:
T_2 = T_1 + \frac{T_{2s}-T_1}{\eta_c}.
Agora aplico numericamente:
  1. Calcular o fator (\gamma-1)/\gamma. Com \gamma\approx 1{,}4,
\frac{\gamma-1}{\gamma} = \frac{0{,}4}{1{,}4}=0{,}285714\ldots
  1. Calcular T_{2s}:
T_{2s} = 520\cdot 14^{0{,}285714}\approx 520\cdot 2{,}12520\approx 1105{,}10\\ \mathrm{R}.
  1. Calcular T_2 usando \eta_c=0{,}87:
T_2 = 520 + \frac{1105{,}10-520}{0{,}87} = 520 + \frac{585{,}10}{0{,}87}\approx 1192{,}53\\ \mathrm{R}.
Interpretação curta: a compressão real produz temperatura de saída maior que a ideal porque o compressor é irreversível; a eficiência isoentrópica quantifica essa diferença.

Passo 3

Agora a turbina: ideia e cálculo do T_4.
  • A expansão isentrópica da turbina, do ponto 3 (entrada) ao 4s (saída ideal), satisfaz análogo:
T_{4s} = T_3\;\pi_c^{-(\gamma-1)/\gamma} = T_3\left(\frac{1}{\pi_c}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}.
  • Eficiência isoentrópica da turbina \eta_t é definida por:
\eta_t = \frac{T_3 - T_4}{T_3 - T_{4s}}.
Isolando T_4:
T_4 = T_3 - \eta_t\,(T_3 - T_{4s}).
Cálculo numérico:
  1. T_{4s}:
T_{4s} = 2500\cdot 14^{-0{,}285714} = \frac{2500}{14^{0{,}285714}}\approx \frac{2500}{2{,}12520}\approx 1176{,}53\\ \mathrm{R}.
  1. T_4 com \eta_t=0{,}83:
T_4 = 2500 - 0{,}83\,(2500 - 1176{,}53) = 2500 - 0{,}83\cdot 1323{,}47\approx 2500 - 1098{,}48 \approx 1401{,}52\\ \mathrm{R}.
Comentários: a turbina real deixa uma temperatura de saída maior que a isentrópica T_{4s} (porque há irreversibilidades que reduzem trabalho extraível).

Passo 4

Determinar a vazão mássica de ar a partir da potência da turbina (explicando por que isso é natural).
  • A potência térmica disponível na turbina (potência útil) por unidade de massa de ar é c_p(T_3 - T_4). Assim, a potência total produzida é:
\dot{W}_t = \dot{m}\; c_p\;(T_3 - T_4).
Logo a vazão mássica é
\dot{m} = \frac{\dot{W}_t}{c_p\,(T_3 - T_4)}.
Substituindo números:
  • \dot{W}_t = 5{,}0\times 10^{6}\\ \mathrm{Btu/h},
  • c_p = 0{,}24\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot R)},
  • T_3 - T_4 = 2500 - 1401{,}52 = 1098{,}48\\ \mathrm{R}.
\dot{m} = \frac{5{,}0\times 10^{6}}{0{,}24\cdot 1098{,}48}\approx \frac{5{,}0\times 10^{6}}{263{,}636}\approx 1,89598\times 10^{4}\\ \mathrm{lb/h}.
Arredondando: \dot{m}\approx 1,896\times 10^{4}\\ \mathrm{lb/h}.

Passo 5

Calcular a vazão volumétrica na entrada do compressor (passo a passo de física e unidades).
  • A equação de estado do gás ideal (por unidade de massa) fornece o volume específico na entrada:
v_1 = \frac{R\,T_1}{P_1},
onde atenção às unidades: para obter v_1 em \mathrm{ft^3/lb} usa-se R em \mathrm{ft\cdot lbf/(lb\cdot R)} e P_1 em \mathrm{lbf/ft^2}.
  • Conversões e valores:
    • R = 0{,}06855\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot R)}. Para transformar em \mathrm{ft\cdot lbf/(lb\cdot R)} multiplica-se por 1\\ \mathrm{Btu}=778{,}169\\ \mathrm{ft\cdot lbf}:
R_{\mathrm{ft}} = 0{,}06855\cdot 778{,}169 \approx 53{,}3669\\ \mathrm{ft\cdot lbf/(lb\cdot R)}.
  • Pressão P_1 = 14\\ \mathrm{psia} = 14\cdot 144 = 2016\\ \mathrm{lbf/ft^2}.
  • Calcular v_1:
v_1 = \frac{53{,}3669\cdot 520}{2016}\approx \frac{27\,769{,}0}{2016}\approx 13{,}7718\\ \mathrm{ft^3/lb}.
  • Finalmente, vazão volumétrica \dot{V}_1 = \dot{m}\,v_1:
\dot{V}_1 = 1{,}89598\times 10^{4}\cdot 13{,}7718 \approx 2{,}61183\times 10^{5}\\ \mathrm{ft^3/h}.
  • É comum também expressar em pés cúbicos por minuto (cfm):
\dot{V}_1 \approx \frac{2{,}61183\times 10^{5}}{60}\approx 4{,}353\\ \mathrm{ft^3/min}.
Explicação curta: multiplicamos massa por volume específico para obter volume por tempo; atenção às unidades é essencial.

Passo 6

Calcular trabalho do compressor, calor fornecido e eficiência térmica do ciclo (passo a passo didático).
  • Trabalho consumido pelo compressor (potência) é:
\dot{W}_c = \dot{m}\; c_p\;(T_2 - T_1).
Substituindo:
T_2 - T_1 = 1192{,}53 - 520 = 672{,}53\\ \mathrm{R},
\dot{W}_c = 1{,}89598\times 10^{4}\cdot 0{,}24\cdot 672{,}53 \approx 3{,}059{,}68\times 10^{6}\\ \mathrm{Btu/h}.
  • Calor adicionado no combustor (potência térmica fornecida ao fluido) por unidade de tempo:
\dot{Q}_{in} = \dot{m}\; c_p\; (T_3 - T_2).
T_3 - T_2 = 2500 - 1192{,}53 = 1307{,}47\\ \mathrm{R},
\dot{Q}_{in} \approx 1{,}89598\times 10^{4}\cdot 0{,}24\cdot 1307{,}47 \approx 5{,}949{,}52\times 10^{6}\\ \mathrm{Btu/h}.
  • Potência líquida do ciclo (utilmente aproveitada):
\dot{W}_{net} = \dot{W}_t - \dot{W}_c = 5{,}000{,}000 - 3{,}059{,}68\times 10^{6}\approx 1{,}940{,}32\times 10^{6}\\ \mathrm{Btu/h}.
  • Eficiência térmica do ciclo:
\eta_{th} = \frac{\dot{W}_{net}}{\dot{Q}_{in}} \approx \frac{1{,}940{,}32\times 10^{6}}{5{,}949{,}52\times 10^{6}}\approx 0{,}326\approx 32{,}6\%.
Interpretação: essa é a fração do calor fornecido que é convertida em trabalho líquido.

Passo 7

Resumo numérico final (valores arredondados com dígitos significativos razoáveis):
  • T_2 \approx 1192{,}5\\ \mathrm{R} (saída do compressor).
  • T_4 \approx 1401{,}5\\ \mathrm{R} (saída da turbina).
  • Vazão mássica \dot{m}\approx 1{,}896\times 10^{4}\\ \mathrm{lb/h}.
  • Vazão volumétrica na entrada do compressor:
    • \dot{V}_1 \approx 2{,}6118\times 10^{5}\\ \mathrm{ft^3/h},
    • ou \dot{V}_1 \approx 4{,}353\\ \mathrm{ft^3/min}.
  • Eficiência térmica do ciclo: \eta_{th}\approx 0{,}326 ou 32{,}6\%.
Força de incentivo: tá difícil, mas com esse método passo a passo você consegue reproduzir na prova — atenção nas unidades e nas fórmulas isoentrópicas!

Resposta

a) \dot{V}_1 \approx 2{,}61\times 10^{5}\\ \mathrm{ft^3/h} \approx 4{,}35\times 10^{3}\\ \mathrm{ft^3/min}
b) T_2 \approx 1192{,}5\\ \mathrm{R}
T_4 \approx 1401{,}5\\ \mathrm{R}
c) \eta_{th} \approx 0{,}326 \;(32{,}6\%)

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