Um conjunto cilindro-pistão contém inicialmente a 1 MPa e e nesta condição o volume ocupado pelo gás é de 200 litros. A pressão total externa que atua sobre o pistão é inversamente proporcional ao quadrado do volume, de acordo com a relação constante . Este sistema é resfriado até que a temperatura do atinja à temperatura de . Considerando o gás como perfeito, determine:
d) O trabalho realizado sobre o sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sistema cilindro-pistão com dióxido de carbono (CO₂) que está sendo resfriado. A gente vai precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente sobre gases perfeitos e cálculo de trabalho em processos termodinâmicos. Vamos precisar das equações de estado dos gases ideais e entender como calcular o trabalho realizado sobre o sistema quando a pressão varia com o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado sobre um sistema na termodinâmica é calculado pela integral da pressão em relação ao volume. Ou seja,
Aqui, é o trabalho, é a pressão, é o volume inicial e é o volume final.
Passo 3
No enunciado, a pressão externa que atua sobre o pistão é inversamente proporcional ao quadrado do volume, seguindo a relação:
Vamos chamar essa constante de . Então,
Passo 4
Para encontrar a constante , usamos as condições iniciais do sistema. Sabemos que inicialmente:
Pressão
Volume
Temperatura
Substituindo na equação :
Passo 5
Agora, queremos encontrar o trabalho realizado quando a temperatura cai para . Para isso, precisamos relacionar a pressão e o volume nessa nova condição usando a equação dos gases ideais:
Onde:
é o número de mols
é a constante dos gases ()
Primeiro, encontramos usando as condições iniciais:
Passo 6
Com o número de mols conhecido, na condição final temos:
Mas sabemos que , então:
Passo 7
Agora, vamos calcular o trabalho :
Substituindo :
Resposta
O trabalho realizado sobre o sistema é de aproximadamente .