Um conjunto cilindro-pistão contém CO2 inicialmente a 1 MPa e 300^circ C e nesta condição o volume ocupado pelo gás é de 200 litros. A pressão total externa que atua sobre o pistão é inversamente proporcional ao quadrado do volume, de acordo com a relação P= constante / V^2. Este sistema é resfriado até que a temperatura do CO2 atinja à temperatura de 20^circ C. Considerando o gás como perfeito, determine:
d) O trabalho realizado sobre o sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sistema cilindro-pistão com dióxido de carbono (CO₂) que está sendo resfriado. A gente vai precisar usar conceitos de termodinâmica, especialmente sobre gases perfeitos e cálculo de trabalho em processos termodinâmicos. Vamos precisar das equações de estado dos gases ideais e entender como calcular o trabalho realizado sobre o sistema quando a pressão varia com o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o trabalho realizado sobre um sistema na termodinâmica é calculado pela integral da pressão em relação ao volume. Ou seja,
W = integralVi^Vf P , dV
Aqui, é o trabalho, é a pressão, é o volume inicial e é o volume final.

Passo 3

No enunciado, a pressão externa P = constanteV^2 que atua sobre o pistão é inversamente proporcional ao quadrado do volume, seguindo a relação:
P = kV^2
Vamos chamar essa constante de . Então,

Passo 4

Para encontrar a constante 1 times 10^6 = k(0,2)^2 , usamos as condições iniciais do sistema. Sabemos que inicialmente:
  • Pressão k = 1 times 10^6 times 0,04 = 4 times 10^4 , Pa cdot m^2
  • Volume
  • Temperatura
Substituindo na equação :

Passo 5

Agora, queremos encontrar o trabalho PV = nRT realizado quando a temperatura cai para n = P1 V1R T1 = 1 times 10^6 times 0,28,314 times 573 approx 42,4 , mols . Para isso, precisamos relacionar a pressão e o volume nessa nova condição usando a equação dos gases ideais:
Onde:
  • é o número de mols
  • é a constante dos gases ( )
Primeiro, encontramos usando as condições iniciais:

Passo 6

Com o número de mols conhecido, na condição final temos:
P2 V2 = n R T2
Mas sabemos que kV2^2 times V2 = n R T2 , então:
kV2 = n R T2
V2 = kn R T2 = 4 times 10^442,4 times 8,314 times 293 approx 0,49 , m^3

Passo 7

Agora, vamos calcular o trabalho W = integralV1^V2 kV^2 , dV = k ( -1V ) |0,2^0,49 = k ( 10,2 - 10,49 ) :
W = 4 times 10^4 (5 - 2,04) = 4 times 10^4 times 2,96 = 1,184 times 10^5 , J
Substituindo :

Resposta

O trabalho realizado sobre o sistema é de aproximadamente .

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