5- Um conjunto cilindro-pistão contém 5 kg de água a 500 kPa e 500^{\circ} \mathrm{C}. Considere que o pistão pode se mover sem atrito. A água é resfriada até atingir título igual a 0,5 . Determine o trabalho realizado pela água.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto cilindro‑pistão contendo água com as seguintes informações iniciais e finais:
m=5\\ \text{kg},\quad p_1=500\\ \text{kPa},\quad T_1=500^\circ\text{C}
A água é resfriada até que atinja título (qualidade) igual a
x_2=0{,}5.
O que se pede: determinar o trabalho realizado pela água durante esse processo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{massa total: }m=5\\ \text{kg}
\text{pressão inicial (e, como assumiremos, a pressão durante o processo): }p=500\\ \text{kPa}ãã
\text{estado inicial: vapor superaquecido a }500^\circ\text{C e }500\\ \text{kPa}
\text{estado final: mistura saturada com qualidade }x_2=0{,}5\text{ à pressão }500\\ \text{kPa}.àã

Passo 2

Entendimento físico e hipótese de resolução (explicação didática e por que escolhemos este caminho).
Quando o pistão pode se mover sem atrito e não há informação de variação de carga externa, a pressão dentro do cilindro acompanha a pressão externa e o processo é quasi‑estático a pressão (praticamente) constante. Portanto, podemos tomar
p=\text{constante }=500\\ \text{kPa}.
Para um processo a pressão constante o trabalho de pressão (trabalho de borda) realizado pela substância é dado por
W=\int_{V_1}^{V_2} p\,dV = p\,(V_2-V_1).
Aqui V é o volume total do sistema. Para substâncias compressíveis trabalhamos com volumes específicos v (volume por unidade de massa), onde
V = m\,v.
Assim a fórmula conveniente em termos de volumes específicos é
W = m\,p\,(v_2 - v_1).
Observação sobre sinal: se v_2<v_1 (volume diminui), então v_2-v_1<0 e W<0. Isso indica que o trabalho é realizado sobre o sistema (o sistema recebe trabalho), ou seja, a água não entrega trabalho ao redor, ela é comprimida à medida que condensa.

Passo 3

Como obter v_2 (estado final) a partir da qualidade x_2 — explicação didática do conceito de qualidade.
Quando temos uma mistura saturada líquido‑vapor à pressão p, os volumes específicos do líquido saturado e do vapor saturado são chamados v_f e v_g, respectivamente. O volume específico da mistura com qualidade x (fração em massa de vapor) é
v = v_f + x\,(v_g - v_f).
No nosso caso x_2=0{,}5 e a pressão é p=500\\ \text{kPa}. Portanto precisamos dos valores de v_f e v_g na pressão de 500\\ \text{kPa}. Usando a tabela de vapor saturado (tabela de propriedades do vapor d’água) para p=500\\ \text{kPa}, obtemos os dados (valores típicos de tabela):
v_f(p=500\\ \text{kPa}) \approx 0{,}00109\\ \text{m}^3/\text{kg},
v_g(p=500\\ \text{kPa}) \approx 0{,}3928\\ \text{m}^3/\text{kg}.
(Estou explicitando que os valores acima foram obtidos das tabelas de vapor saturado padrão para água à pressão de 500\\ \text{kPa}.)

Passo 4

Cálculo de v_2 usando a fórmula da mistura.
Aplicando
v_2 = v_f + x_2\,(v_g - v_f)
substituindo os números:
v_2 = 0{,}00109 + 0{,}5\,(0{,}3928 - 0{,}00109).
Calcule passo a passo:
v_g - v_f = 0{,}3928 - 0{,}00109 = 0{,}39171\\ \text{m}^3/\text{kg},
0{,}5\,(v_g - v_f)=0{,}5\cdot 0{,}39171 = 0{,}195855\\ \text{m}^3/\text{kg},
v_2 = 0{,}00109 + 0{,}195855 = 0{,}196945\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Arredondando com razoável precisão:
v_2 \approx 0{,}19695\\ \text{m}^3/\text{kg}.

Passo 5

Como obter v_1 (estado inicial superaquecido) — explicação didática e escolha do método.
O estado inicial é vapor superaquecido a p=500\\ \text{kPa} e T=500^\circ\text{C}. A maneira mais precisa é consultar a tabela de vapor superaquecido para p=500\\ \text{kPa} e T=500^\circ\text{C} e ler v_1. Se a tabela não estiver disponível, uma aproximação razoável para vapor superaquecido é usar a equação dos gases ideais:
v = \frac{R\,T}{p},
onde R é a constante específica do vapor d’água R=0{,}4615\\ \text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K}) (que em unidades compatíveis com p em kPa e v em m ^3/kg pode ser usada diretamente), T em kelvin e p em kPa. Aqui T_1=500^\circ\text{C}=500+273{,}15=773{,}15\\ \text{K}.
Nós vamos usar a aproximação do gás ideal (ou, se preferir, quem tiver tabela pode substituir por v_1 da tabela). Aplicando a equação:
v_1 \approx \frac{0{,}4615\cdot 773{,}15}{500}.
Calcule:
0{,}4615\cdot 773{,}15 \approx 356{,}84,
v_1 \approx \frac{356{,}84}{500} \approx 0{,}71368\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Arredondando:
v_1 \approx 0{,}7137\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Comentário: este valor é uma boa aproximação para vapor superaquecido a essa temperatura/pressão; tabelas de vapor superaquecido dariam um valor muito próximo.

Passo 6

Cálculo do trabalho usando W = m\,p\,(v_2-v_1). Lembrete de unidades: p em kPa e V em m ^3 faz pV em kPa·m ^3 = kJ, logo W resultará em kJ.
Primeiro calcule a diferença de volumes específicos:
v_2 - v_1 = 0{,}19695 - 0{,}71368 = -0{,}51673\\ \text{m}^3/\text{kg}.
Agora multiplique por p e por m:
W = m\,p\,(v_2-v_1) = 5\cdot 500\cdot (-0{,}51673).
Calcule passo a passo:
500\cdot (-0{,}51673) = -258{,}365\\ \text{kJ/kg},
W = 5\cdot (-258{,}365) = -1\,291{,}825\\ \text{kJ}.
Arredondando com dois algarismos significativos razoáveis:
W \approx -1\,292\\ \text{kJ}.

Passo 7

Interpretação física do resultado e reforço didático.
O sinal negativo ( W<0 ) indica que o trabalho total calculado é negativo segundo a convenção adotada (trabalho positivo quando realizado pelo sistema sobre os arredores). Portanto, durante o resfriamento e condensação o volume diminuiu e, na verdade, foi realizado trabalho sobre a água (o pistão foi empurrado para dentro). Se a pergunta pedisse “trabalho realizado pelo fluido” a resposta numérica é negativa; se pedisse “módulo do trabalho realizado” poderíamos fornecer 1{,}292\\ \text{MJ} como magnitude.

Resposta

-1{,}292\\ \text{kJ}

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