Um conjunto cilindro-pistão dotado de uma mola linear contém ar numa condição inicial, onde a pressão é igual a 180 kPa e o volume igual a 60 litros. Após receber certa quantidade de calor, o volume foi acrescido de 38 litros e a pressão final foi de 313 kPa . Determine:
O trabalho realizado na transformação.
Resposta: b) W = 9,367 kJ

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um sistema cilindro-pistão com uma mola linear que contém ar. Inicialmente, a pressão do ar é de 180 kPa e o volume é de 60 litros. Depois que uma certa quantidade de calor é adicionada, o volume passa para 98 litros (60 + 38) e a pressão final sobe para 313 kPa. A gente precisa descobrir o trabalho realizado nessa transformação. Pra resolver isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente o cálculo do trabalho em processos de pressão variável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o trabalho $ W $ realizado em um processo termodinâmico onde a pressão varia é dado pela integral da pressão em função do volume:
W
Isso significa que precisamos saber como a pressão muda conforme o volume muda de 60 a 98 litros.

Passo 3

Como temos uma mola linear no sistema, a pressão não muda de forma aleatória. A mola exerce uma força que é proporcional à compressão ou expansão dela. A relação entre a pressão e o volume nesse caso pode ser expressa como uma função linear:
P = P1 + k(V - V1)
Onde:
  • $ P_1 $ é a pressão inicial (180 kPa)
  • $ V_1 $ é o volume inicial (60 litros)
  • $ k $ é a constante que relaciona a mudança de pressão com a mudança de volume

Passo 4

Para encontrar a constante $ k $, usamos as condições finais do processo. Sabemos que quando o volume é 98 litros, a pressão é 313 kPa. Substituindo esses valores na equação:
k
313 = 180 + k(98 - 60)
313 = 180 + 38k
38k = 313 - 180
38k = 133

Passo 5

Agora que temos a expressão da pressão em função do volume, podemos substituir na integral do trabalho:
W = integral60^98 (180 + 3,5(V - 60)) , dV
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
W = integral60^98 (180 + 3,5V - 210) , dV
W = integral60^98 (3,5V - 30) , dV

Passo 6

Vamos calcular a integral:
W = integral60^98 3,5V , dV - integral60^98 30 , dV
W = 3,5 [ V^22 ]60^98 - 30 [ V ]60^98
W = 3,5 ( 98^22 - 60^22 ) - 30 (98 - 60)
W = 3,5 ( 96042 - 36002 ) - 30 times 38
W = 3,5 (4802 - 1800) - 1140
W = 3,5 times 3002 - 1140
W = 10507 - 1140
W = 9367 , kJ

Resposta

b) $ W = 9,!367 , kJ $

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