1. Um conjunto motor-diesel-gerador (GMG) tem gerador síncrono trifásico, ligação em estrela, potência \mathbf{3 0 0 k V A} / \mathbf{2 2 0 V} / \mathbf{1 2 7 V} / \mathbf{6 0 H z}, \mathbf{F P}=\mathbf{0 , 8 0}, 4 polos e rendimento de \mathbf{7 8 \%} será utilizado em regime contínuo para alimentar as seguintes cargas: \mathrm{C} 1=100 \mathrm{kVA} / \mathrm{FP}=0,85 \mathrm{i} / 220 \mathrm{~V}-trif; \mathrm{C} 2=65 \mathrm{~kW} / \mathrm{FP}=0,75 \mathrm{i} / 220 \mathrm{~V} / trif; \mathrm{C} 3=80 \mathrm{kW} / \mathrm{FP}=0.88 \mathrm{i} / 220 \mathrm{~V} / trif. Pede-se:
a) Potências e corrente nominais do gerador em regime contínuo;

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei estes números do enunciado; a imagem só mostra a máquina e as saídas A, B, C, N, PE):
  • Dados do gerador (placa): S_{\text{nom}}=300\\ \text{kVA}, tensão 220\\ \text{V}/127\\ \text{V} (trifásico ligação em estrela), f=60\\ \text{Hz}, fator de potência nominal FP_{\text{ger}}=0{,}80, 4 polos, rendimento \eta=78\%=0{,}78.
  • Cargas conectadas (todas trifásicas a 220\\ \text{V}):
    • \mathrm{C1}:\\ S_{1}=100\\ \text{kVA},\\ FP_{1}=0{,}85.
    • \mathrm{C2}:\\ P_{2}=65\\ \text{kW},\\ FP_{2}=0{,}75.
    • \mathrm{C3}:\\ P_{3}=80\\ \text{kW},\\ FP_{3}=0{,}88.
  • O enunciado (item a) pede: potências e corrente nominais do gerador em regime contínuo.
    Observação: além das grandezas nominais de placa vou calcular também as potências e corrente exigidas pelas cargas (para ver se o gerador suporta).

Passo 2

Conceitos rápidos e fórmulas que vamos usar (explicando o que é cada símbolo):
  • Potência aparente S (em kVA): magnitude complexa que relaciona potência ativa P e reativa Q: S=\sqrt{P^{2}+Q^{2}}.Aqui P é potência ativa (kW) e Q é potência reativa (kVAr).
  • Fator de potência FP=\cos\varphi, onde \varphi é o ângulo de fase entre tensão e corrente. Assim: P=S\cdot FP,\qquad Q=S\cdot\sin\varphi=S\sqrt{1-FP^{2}}.
  • Corrente de linha em sistema trifásico balanceado (tensão dada é linha a linha V_{L}): I_{L}=\frac{S}{\sqrt{3}\,V_{L}},onde S está em VA (ou convertendo kVA para VA) e V_{L} em volts. Explicação rápida: o fator \sqrt{3} vem da relação entre tensões de linha e de fase em ligação estrela e da potência total trifásica S_{\text{tot}}=\sqrt{3}\,V_{L}\,I_{L}.
  • Rendimento \eta: potência mecânica de entrada P_{\text{mec}}=\dfrac{P_{\text{elé}}}{\eta}é, onde P_{\text{elé}}é é potência ativa entregue aos consumidores pelo gerador.

Passo 3

Potências nominais de placa do gerador (direto da placa + definição):
  • Potência aparente nominal: S_{\text{nom}}=300\\ \text{kVA} (dado).
  • Potência ativa nominal (em regime contínuo considerando o FP_{\text{ger}}=0{,}80): P_{\text{nom}}=S_{\text{nom}}\cdot FP_{\text{ger}}=300\cdot0{,}80=240\\ \text{kW}.Explicação: o valor 240\\ \text{kW} é a potência real máxima que o gerador fornece se for utilizado em seu FP nominal.
  • Potência reativa nominal: Q_{\text{nom}}=S_{\text{nom}}\sqrt{1-FP_{\text{ger}}^{2}}=300\sqrt{1-0{,}8^{2}}=300\sqrt{1-0{,}64}=300\sqrt{0{,}36}=300\cdot0{,}6=180\\ \text{kVAr}.Interpretação: na carga nominal com FP=0{,}8 o gerador entrega também 180\\ \text{kVAr} de reativos.

Passo 4

Corrente nominal do gerador (linha) usando V_{L}=220\\ \text{V}:
  • Fórmula: I_{\text{nom}}=\frac{S_{\text{nom}}}{\sqrt{3}\,V_{L}}.
  • Cálculo (converter S para VA: 300\\ \text{kVA}=300000\\ \text{VA}): I_{\text{nom}}=\frac{300000}{\sqrt{3}\cdot220}.Vamos calcular passo a passo:
    \sqrt{3}\approx1{,}732, então o denominador \sqrt{3}\cdot220\approx1{,}732\cdot220\approx380{,}9. I_{\text{nom}}\approx\frac{300000}{380{,}9}\approx787{,}6\\ \text{A}.Interpretação: cada fase (corrente de linha) pode chegar a aproximadamente 787{,}6\\ \text{A} com o gerador em carga plena de 300\\ \text{kVA}.

Passo 5

Agora calculo detalhado (passo a passo) das potências e reativas de cada carga — isso serve para saber a corrente real exigida:
  • C1: é dado S_{1}=100\\ \text{kVA} e FP_{1}=0{,}85. P_{1}=S_{1}\cdot FP_{1}=100\cdot0{,}85=85\\ \text{kW}.
Q_{1}=S_{1}\sqrt{1-FP_{1}^{2}}=100\sqrt{1-0{,}85^{2}}=100\sqrt{1-0{,}7225}=100\sqrt{0{,}2775}\approx100\cdot0{,}5268\approx52{,}68\\ \text{kVAr}.
  • C2: é dado P_{2}=65\\ \text{kW} e FP_{2}=0{,}75. Primeiro achamos S_{2}: S_{2}=\frac{P_{2}}{FP_{2}}=\frac{65}{0{,}75}\approx86{,}6667\\ \text{kVA}.
Q_{2}=S_{2}\sqrt{1-FP_{2}^{2}}=86{,}6667\sqrt{1-0{,}75^{2}}=86{,}6667\sqrt{0{,}4375}\approx86{,}6667\cdot0{,}66144\approx57{,}32\\ \text{kVAr}.
  • C3: é dado P_{3}=80\\ \text{kW} e FP_{3}=0{,}88. Primeiro S_{3}: S_{3}=\frac{80}{0{,}88}\approx90{,}9091\\ \text{kVA}.
Q_{3}=S_{3}\sqrt{1-FP_{3}^{2}}=90{,}9091\sqrt{1-0{,}88^{2}}=90{,}9091\sqrt{0{,}2256}\approx90{,}9091\cdot0{,}475\approx43{,}19\\ \text{kVAr}.

Passo 6

Somatório das potências (com explicação de por que somar ativas e reativas separadamente):
  • Potência ativa total: P_{\text{tot}}=P_{1}+P_{2}+P_{3}=85+65+80=230\\ \text{kW}.
  • Potência reativa total (as reativas somam como vetores pois aqui todas são indutivas do enunciado; somamos diretamente os valores algébricos já que o sinal é o mesmo): Q_{\text{tot}}=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}\approx52{,}68+57{,}32+43{,}19\approx153{,}19\\ \text{kVAr}.
  • Potência aparente total (módulo): S_{\text{tot}}=\sqrt{P_{\text{tot}}^{2}+Q_{\text{tot}}^{2}}=\sqrt{230^{2}+153{,}19^{2}}\\ \text{kVA}.Calculemos:
    230^{2}=52900. 153{,}19^{2}\approx23471{,}6. Soma \approx76371{,}6. Logo S_{\text{tot}}\approx\sqrt{76371{,}6}\approx276{,}4\\ \text{kVA}.
  • Fator de potência global: FP_{\text{tot}}=\frac{P_{\text{tot}}}{S_{\text{tot}}}\approx\frac{230}{276{,}4}\approx0{,}833.

Passo 7

Corrente necessária para alimentar as cargas (linha, com V_{L}=220\\ \text{V}):
  • Usando S_{\text{tot}} em VA: I_{\text{cargas}}=\frac{S_{\text{tot}}}{\sqrt{3}\,V_{L}}=\frac{276{,}4\cdot1000}{\sqrt{3}\cdot220}.Denominador \sqrt{3}\cdot220\approx380{,}9. Portanto I_{\text{cargas}}\approx\frac{276400}{380{,}9}\approx725{,}9\\ \text{A}.
Comparação rápida: I_{\text{nom}}\approx787{,}6\\ \text{A} (capacidade do gerador) é maior que I_{\text{cargas}}\approx725{,}9\\ \text{A}, então em termos de corrente o gerador suporta.

Passo 8

Potência mecânica requerida do motor-diesel para alimentar as cargas (rendimento \eta=0{,}78):
  • A potência ativa elétrica entregue às cargas é P_{\text{tot}}=230\\ \text{kW}. Pela definição de rendimento: P_{\text{mec}}=\frac{P_{\text{tot}}}{\eta}=\frac{230}{0{,}78}\approx294{,}9\\ \text{kW}.
  • Observação: se o gerador fosse usado em sua potência ativa nominal P_{\text{nom}}=240\\ \text{kW}, a potência mecânica exigida seria \dfrac{240}{0{,}78}\approx307{,}7\\ \text{kW}.

Resposta

Potências nominais do gerador: S_{\text{nom}}=300\\ \text{kVA}, P_{\text{nom}}=240\\ \text{kW}, Q_{\text{nom}}=180\\ \text{kVAr}.
Corrente nominal (linha, 220\\ \text{V}): I_{\text{nom}}\approx787{,}6\\ \text{A}.
Para as cargas conectadas: P_{\text{tot}}=230\\ \text{kW}, Q_{\text{tot}}\approx153{,}2\\ \text{kVAr}, S_{\text{tot}}\approx276{,}4\\ \text{kVA}, FP_{\text{tot}}\approx0{,}833, I_{\text{cargas}}\approx725{,}9\\ \text{A}.
Potência mecânica requerida do motor-diesel para alimentar as cargas: P_{\text{mec}}\approx294{,}9\\ \text{kW}.