1. Um conjunto motor-diesel-gerador (GMG) tem rendimento de \mathbf{7 8 \%}, gerador síncrono trifásico de \mathbf{1 2 5}
    \mathrm{kVA} / 220 \mathrm{~V}-127 \mathrm{~V} / 60 \mathrm{~Hz}, \mathrm{FP}=0,80, ligação Y e 4 polos será utilizado para operar em uma indústria. Pede-se:
e) Torque da máquina primária estando o gerador fornecendo potência nominal.

Passo 1

Listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Rendimento do conjunto GMG: \eta = 78\%.
    • Potência aparente nominal do gerador: S = 125\\ \mathrm{kVA}.
    • Tensão (informação de tensão e ligação Y não é necessária para o torque, mas está dada): 220\\ \mathrm{V}/127\\ \mathrm{V}, ligação \mathrm{Y}.
    • Fator de potência: \mathrm{pf} = 0,80.
    • Número de polos: P = 4.
    • Frequência: f = 60\\ \mathrm{Hz}.
  • O que o enunciado pede:
    • e) O torque da máquina primária (ou seja, o torque que o motor-diesel deve fornecer) quando o gerador está fornecendo a potência nominal.

Passo 2

Converter a potência aparente e o fator de potência em potência ativa elétrica entregue pelo gerador.
Explicação didática curta: a potência aparente S (em \mathrm{VA} ou \mathrm{kVA}) é a combinação da potência ativa P (a que realiza trabalho útil, em \mathrm{W} ou \mathrm{kW}) e da potência reativa. O fator de potência relaciona-os por
P = S \cdot \mathrm{pf}.
Aplicando os valores dados:
P_{\text{el}} = 125\\ \mathrm{kVA}\cdot 0,80 = 100\\ \mathrm{kW}.

Passo 3

Calcular a potência mecânica que a máquina primária precisa fornecer, usando o rendimento do conjunto.
Explicação didática curta: se o conjunto tem rendimento \eta, significa que apenas a fração \eta da potência mecânica de entrada se transforma em potência elétrica útil. Logo a potência mecânica necessária é
P_{\text{mec}}=\frac{P_{\text{el}}}{\eta}.
Convertendo \eta para decimal: \eta=78\%=0,78. Então
P_{\text{mec}}=\frac{100\\ \mathrm{kW}}{0,78}=128{,}205128\ldots\\ \mathrm{kW}=1,28205128\times10^{5}\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Determinar a velocidade de rotação síncrona do gerador a partir do número de polos e da frequência.
Explicação didática curta: para máquinas síncronas a relação entre a frequência elétrica f (em Hz), o número de polos P e a velocidade síncrona n_s (em rpm) é
n_s=\frac{120\,f}{P}.
Aplicando f=60\\ \mathrm{Hz} e P=4:
n_s=\frac{120\cdot60}{4}=1800\\ \mathrm{rpm}.

Passo 5

Converter a velocidade em rpm para velocidade angular em rad/s.
Explicação didática curta: a velocidade angular \omega (em \mathrm{rad/s}) relaciona-se com a velocidade em rpm por
\omega = 2\pi\frac{n}{60}.
Para n=1800\\ \mathrm{rpm}:
\omega = 2\pi\frac{1800}{60}=60\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 188{,}496\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Calcular o torque a partir da potência mecânica e da velocidade angular.
Explicação didática curta: a relação entre potência mecânica P_{\text{mec}} (em \mathrm{W}), torque T (em \mathrm{N\cdot m}) e velocidade angular \omega (em \mathrm{rad/s}) é
T=\frac{P_{\text{mec}}}{\omega}.
Substituindo os valores (usando P_{\text{mec}}=1,28205128\times10^{5}\\ \mathrm{W} e \omega=60\pi\\ \mathrm{rad/s}):
T=\frac{1,28205128\times10^{5}}{60\pi}\\ \mathrm{N\cdot m}\approx 680{,}15\\ \mathrm{N\cdot m}.
Comentário final curto e motivador: pronto — o motor-diesel precisa entregar cerca de 680\\ \mathrm{N\cdot m} de torque para que o gerador forneça sua potência nominal, considerando o rendimento informado. Boa! Você já tem o procedimento completo para aplicar a qualquer caso parecido.

Resposta

680{,}15\\ \mathrm{N\cdot m}