Os conjuntos de restrições abaixo formam regiões viáveis convexas?
a)
b)
(região convexa)
(região convexa)
a)
b)
(região convexa)
(região convexa)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para a gente verificar se os conjuntos de restrições fornecidos formam regiões viáveis convexas. Isso envolve entender o que é uma região convexa e como verificar se as restrições dadas definem uma região assim. Vamos precisar usar conceitos de geometria e análise de funções para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma região convexa. Imagine que você tem dois pontos dentro de uma região. Se toda a linha que liga esses dois pontos também está dentro da região, então a região é convexa. Isso é importante em otimização porque regiões convexas têm propriedades que facilitam encontrar soluções ótimas.
Passo 3
Vamos começar com a parte a) do exercício:
Essa desigualdade pode ser reescrita como:
Essa é a equação de um círculo com raio 3 centrado na origem. A região definida por essa desigualdade inclui todos os pontos dentro e na borda do círculo.
Passo 4
Sabemos que círculos (e, mais geralmente, esferas em dimensões maiores) são formas convexas. Isso porque, se você pegar qualquer dois pontos dentro do círculo, a linha que os conecta também estará completamente dentro do círculo.
Passo 5
Agora, vamos para a parte b). Temos várias restrições:
1.
1.
Passo 6
Vamos analisar cada restrição:
Primeira restrição:
Já vimos que isso define um círculo convexo.
Segunda restrição:
Essa é a região abaixo da parábola
. Parabolas não são convexas, então essa restrição pode não manter a convexidade.
Terceira restrição:
Essa é a região abaixo da parábola
. Novamente, sendo uma parábola, não é convexa.
Quarta restrição:
Semelhante à segunda restrição, essa define uma região abaixo de uma parábola, que também não é convexa.
Passo 7
Para que a interseção dessas restrições seja convexa, todas elas precisam definir regiões convexas. Enquanto a primeira restrição é convexa, as demais não são. Portanto, a interseção dessas regiões pode não ser convexa.
Passo 8
Como algumas das restrições definem regiões não convexas, a interseção delas não será necessariamente convexa. Portanto, o conjunto de restrições na parte b) não forma uma região viável convexa.
Resposta
a) Sim, a região definida pela restrição
é convexa.
b) Não, o conjunto de restrições não forma uma região viável convexa.