Os conjuntos de restrições abaixo formam regiões viáveis convexas?
a) g1(x)=-(x1^2+x2^2)+9 >= 0
b) g1(x)=x1^2+x2^2-9 <= 0
g2(x)=-x1^2-x2+1 >= 0
g2(x)=(x1+x2^2)-1 <= 0
(região convexa)
g3(x)=(x1^2+x2)-1 <= 0
(região convexa)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão está pedindo para a gente verificar se os conjuntos de restrições fornecidos formam regiões viáveis convexas. Isso envolve entender o que é uma região convexa e como verificar se as restrições dadas definem uma região assim. Vamos precisar usar conceitos de geometria e análise de funções para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma região convexa. Imagine que você tem dois pontos dentro de uma região. Se toda a linha que liga esses dois pontos também está dentro da região, então a região é convexa. Isso é importante em otimização porque regiões convexas têm propriedades que facilitam encontrar soluções ótimas.

Passo 3

Vamos começar com a parte a) do exercício:
g1(x) = -(x1^2 + x2^2) + 9 >= 0
Essa desigualdade pode ser reescrita como:
x1^2 + x2^2 <= 9
Essa é a equação de um círculo com raio 3 centrado na origem. A região definida por essa desigualdade inclui todos os pontos dentro e na borda do círculo.

Passo 4

Sabemos que círculos (e, mais geralmente, esferas em dimensões maiores) são formas convexas. Isso porque, se você pegar qualquer dois pontos dentro do círculo, a linha que os conecta também estará completamente dentro do círculo.

Passo 5

Agora, vamos para a parte b). Temos várias restrições:
1.
g1(x) = x1^2 + x2^2 - 9 <= 0
g2(x) = -x1^2 - x2 + 1 >= 0
g2(x) = x1 + x2^2 - 1 <= 0
g3(x) = x1^2 + x2 - 1 <= 0

Passo 6

Vamos analisar cada restrição:
Primeira restrição:
x1^2 + x2^2 - 9 <= 0 Rightarrow x1^2 + x2^2 <= 9
Já vimos que isso define um círculo convexo.
Segunda restrição:
-x1^2 - x2 + 1 >= 0 Rightarrow x1^2 + x2 <= 1
Essa é a região abaixo da parábola x2 = 1 - x1^2. Parabolas não são convexas, então essa restrição pode não manter a convexidade.
Terceira restrição:
x1 + x2^2 - 1 <= 0 Rightarrow x1 + x2^2 <= 1
Essa é a região abaixo da parábola x1 = 1 - x2^2. Novamente, sendo uma parábola, não é convexa.
Quarta restrição:
x1^2 + x2 - 1 <= 0 Rightarrow x1^2 + x2 <= 1
Semelhante à segunda restrição, essa define uma região abaixo de uma parábola, que também não é convexa.

Passo 7

Para que a interseção dessas restrições seja convexa, todas elas precisam definir regiões convexas. Enquanto a primeira restrição é convexa, as demais não são. Portanto, a interseção dessas regiões pode não ser convexa.

Passo 8

Como algumas das restrições definem regiões não convexas, a interseção delas não será necessariamente convexa. Portanto, o conjunto de restrições na parte b) não forma uma região viável convexa.

Resposta

a) Sim, a região definida pela restrição g1(x) >= 0 é convexa.
b) Não, o conjunto de restrições não forma uma região viável convexa.

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