Consider a system consisting of 2.0 \mathrm{~mol} \mathrm{CO}_{2}(\mathrm{~g}), initially at 25^{\circ} \mathrm{C} and 10 atm and confined to a cylinder of cross-section 10.0 \mathrm{~cm}^{2}. It is allowed to expand adiabatically against an external pressure of 1.0 atm until the piston has moved outwards through 20 cm . Assume that carbon dioxide may be considered a perfect gas with C_{V, \mathrm{~m}}=28.8 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1} and calculate w

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede calcular o trabalho w:
  • quantidade de gás: n=2{,}0\\ \mathrm{mol} de \mathrm{CO}_2(g).
  • temperatura inicial: 25^\circ\mathrm{C} (igual a 298{,}15\\ \mathrm{K}, dado apenas para referência).
  • pressão inicial: P_{\mathrm{i}}=10\\ \mathrm{atm}.
  • área do cilindro (seção): A=10{,}0\\ \mathrm{cm}^2.
  • deslocamento do pistão para fora: s=20\\ \mathrm{cm}.
  • pressão externa contra a qual o gás expande (constante): P_{\mathrm{ext}}=1{,}0\\ \mathrm{atm}.
  • calor molar a volume constante (fornecido): C_{V,\mathrm{m}}=28{,}8\\ \mathrm{J}\,\mathrm{K}^{-1}\,\mathrm{mol}^{-1} (não será necessário para o trabalho, mas foi fornecido).
  • O processo é adiabático (ou seja, q=0), e a expansão é irreversível contra uma pressão externa constante.
O que se pede: calcular o trabalho w realizado durante essa expansão.

Passo 2

Entender a expressão correta para o trabalho numa expansão irreversível contra pressão externa constante.
  • Regra geral: o trabalho realizado sobre o sistema pelo ambiente (convenção termodinâmica padrão) quando a pressão externa é constante vale
w=-P_{\mathrm{ext}}\,\Delta V.
  • Explicação do sinal: se o sistema se expande ( \Delta V>0), o sistema realiza trabalho sobre as vizinhanças, e portanto o trabalho recebido pelo sistema é negativo ( w<0). Se o sistema fosse comprimido, \Delta V<0 e w>0.
  • Observação importante: como o processo é irreversível e rápido em geral, não se integra P_{\mathrm{int}}(V) (a pressão interna do gás varia e não é igual a P_{\mathrm{ext}} durante o processo); usa-se a pressão externa constante para calcular o trabalho.
Portanto vamos usar diretamente w=-P_{\mathrm{ext}}\,\Delta V. Agora precisamos calcular \Delta V a partir da área e do deslocamento do pistão e converter unidades.

Passo 3

Calcular \Delta V a partir de área e deslocamento, cuidando das unidades.
  • Converter área de \mathrm{cm}^2 para \mathrm{m}^2: 1\\ \mathrm{cm}^2=10^{-4}\\ \mathrm{m}^2. Logo
A=10{,}0\\ \mathrm{cm}^2 = 10{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
  • Converter deslocamento para metros: s=20\\ \mathrm{cm}=0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Volume deslocado (variação de volume) é área vezes deslocamento:
\Delta V = A\cdot s = \left(1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2\right)\left(0{,}20\\ \mathrm{m}\right)=2{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 4

Converter a pressão externa para unidades SI (pascal).
  • Usar 1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}. Assim
P_{\mathrm{ext}}=1{,}0\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 5

Calcular o trabalho usando w=-P_{\mathrm{ext}}\,\Delta V.
w = -\left(1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\right)\left(2{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3\right).
Fazendo a multiplicação:
1{,}01325\times10^{5}\times2{,}00\times10^{-4} = 1{,}01325\times2{,}00\times10^{5-4} = 2{,}0265\times10^{1} = 20{,}265\\ \mathrm{J}.
Portanto
w = -20{,}265\\ \mathrm{J}.
Arredondando de forma consistente com os dados fornecidos (valores dados com duas ou três cifras significativas), podemos reportar o resultado como -20{,}3\\ \mathrm{J}.

Resposta

-20{,}3\\ \mathrm{J}

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