Consider a system consisting of 2.0 \mathrm{~mol} \mathrm{CO}_{2}(\mathrm{~g}), initially at 25^{\circ} \mathrm{C} and 10 atm and confined to a cylinder of cross-section 10.0 \mathrm{~cm}^{2}. It is allowed to expand adiabatically against an external pressure of 1.0 atm until the piston has moved outwards through 20 cm . Assume that carbon dioxide may be considered a perfect gas with C_{V, \mathrm{~m}}=28.8 \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} \mathrm{~mol}^{-1} and calculate q

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • quantidade de substância: n=2{,}0\\ \mathrm{mol} (peguei do enunciado).
    • temperatura inicial: 25^\circ\mathrm{C} (ou seja, T_i=25^\circ\mathrm{C}, que corresponde a 298{,}15\\ \mathrm{K}, se precisarmos).
    • pressão inicial: P_i=10\\ \mathrm{atm} (dado).
    • seção do cilindro (área do pistão): A=10{,}0\\ \mathrm{cm}^2 (dado).
    • deslocamento do pistão para fora: x=20\\ \mathrm{cm} (dado).
    • pressão externa constante contra a qual o gás expande: P_{\text{ext}}=1{,}0\\ \mathrm{atm} (dado).
    • calor molar a volume constante: C_{V,\mathrm{m}}=28{,}8\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}} (dado).
  • O que o enunciado pede:
    • calcular q (o calor trocado pelo sistema durante a expansão).

Passo 2

Entender o que significa “adiabaticamente”.
  • Definição prática: um processo adiabático é aquele em que não há troca de calor entre o sistema e as vizinhanças. Por definição isso significa que q=0.
  • Comentário didático: isso vale tanto para processos adiabáticos reversíveis quanto para irreversíveis — “adiabático” refere‑se estritamente à ausência de transferência de calor. Como o enunciado especifica que a expansão ocorre “adiabaticamente”, pelo enunciado sabemos que q é zero. Vou, no entanto, mostrar cálculos auxiliares (trabalho e variação de energia interna) para você ver a consistência física e aprender a aplicar as fórmulas na prova.

Passo 3

Lembrar a Primeira Lei da Termodinâmica e o sinal do trabalho.
  • Primeira Lei (no sinal que usamos em termodinâmica química): \Delta U = q + w,onde \Delta U é a variação da energia interna, q o calor (positivo se entra no sistema) e w o trabalho (positivo se feito sobre o sistema). Muitas vezes usa‑se a convenção química w negativo quando o sistema realiza trabalho.
  • Para uma expansão contra pressão externa constante, o trabalho realizado pelo gás (trabalho de pressão) é dado por w = -P_{\text{ext}}\,\Delta V,onde o sinal negativo indica que se o volume aumenta ( \Delta V>0) o sistema realiza trabalho sobre o entorno e w é negativo.

Passo 4

Calcular o aumento de volume \Delta V a partir da área e do deslocamento do pistão.
  • Converter unidades:
    • A=10{,}0\\ \mathrm{cm}^2 = 10{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2.
    • x=20\\ \mathrm{cm} = 0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Volume deslocado: \Delta V = A\cdot x = \left(1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2\right)\left(0{,}20\\ \mathrm{m}\right)=2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.

Passo 5

Calcular o trabalho w realizado pelo gás contra P_{\text{ext}}.
  • Converter P_{\text{ext}} para pascal: P_{\text{ext}}=1{,}0\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Aplicar w=-P_{\text{ext}}\Delta V: w = -\left(1{,}01325\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}\right)\left(2{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3\right) = -2{,}0265\times10^{1}\\ \mathrm{J}.
  • Arredondando razoavelmente: w \approx -20{,}3\\ \mathrm{J}.
  • Interpretação: o gás realizou cerca de 20{,}3\\ \mathrm{J} de trabalho sobre o entorno.

Passo 6

Verificar a consistência com a variação de energia interna e a temperatura (a título didático).
  • Para um gás perfeito mono‑ou poliatômico, a variação de energia interna é dada por \Delta U = n C_{V,\mathrm{m}}\,\Delta T.
  • Como o processo é adiabático, temos q=0 (veja Passo 2) e, pela Primeira Lei, \Delta U = q + w = 0 + w = w.
  • Assim n C_{V,\mathrm{m}}\,\Delta T = we \Delta T = \frac{w}{n C_{V,\mathrm{m}}}.
  • Substituindo números (para checar a ordem de grandeza): \Delta T = \frac{-20{,}265\\ \mathrm{J}}{(2{,}0\\ \mathrm{mol})(28{,}8\\ \mathrm{J\,K^{-1}\,mol^{-1}})}=\frac{-20{,}265}{57{,}6}\\ \mathrm{K}\approx -0{,}352\\ \mathrm{K}.
  • Conclusão didática: a temperatura cai muito pouco (cerca de 0{,}35\\ \mathrm{K}) porque o volume deslocado é pequeno comparado ao volume total do gás a 10 atm. Isso mostra consistência física: trabalho não nulo, porém calor nulo.

Passo 7

Resposta final pedida: o enunciado perguntou explicitamente por q. Pela definição de processo adiabático (Passo 2), não há troca de calor entre sistema e vizinhança, portanto o calor trocado é zero. (Os cálculos dos passos anteriores mostram o trabalho e a variação de temperatura compatíveis com isso.)

Resposta

q=0\\ \mathrm{J}

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