Consideramos como sistema o gás contido em um cilindro, provido de um êmbolo sobre o qual são colocados vários pesos pequenos. A pressão inicial é de 1,94 \mathrm{~atm}. O volume inicial é 25 \mathrm{dm}^{3}.
Consideremos o mesmo sistema e as mesmas condições iniciais. Agora, porém, ao mesmo que o sistema é aquecido e o êmbolo se levanta, removemos os pesos de tal forma que durante o processo a relação entre a pressão e o volume é dada por (\mathrm{PV})= constante. O volume final é 40 \mathrm{dm}^{3}. Qual é o trabalho realizado?

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedido: Calcular o trabalho realizado pelo gás durante o processo em que a relação (PV)= constante é mantida e o volume varia de um valor inicial para um valor final.
  • Dados fornecidos:
    • Pressão inicial: P_i = 1,94\\ \text{atm}.
    • Volume inicial: V_i = 25\\ \text{dm}^3.
    • Volume final: V_f = 40\\ \text{dm}^3.
  • Informação adicional que está implícita no enunciado e que vamos usar: trata‑se de um processo quasi‑estático (o êmbolo se levanta lentamente) com a relação (PV)= constante durante o processo.

Passo 2

Conceito de trabalho em um processo quasi‑estático e fórmula que vamos usar.
  • Em termodinâmica, o trabalho realizado pelo gás ao se expandir de V_i até V_f em um processo quasi‑estático é dado por
W=\int_{V_i}^{V_f} P\,dV,
onde P é a pressão do gás como função do volume durante o processo.
  • Aqui o enunciado diz que PV= constante durante o processo. Vou chamar essa constante de C. Assim,
P=\frac{C}{V}.
  • Substituindo na integral obtemos a forma que vamos integrar:
W=\int_{V_i}^{V_f}\frac{C}{V}\,dV.
Explicação curta do porquê: integrar P\,dV soma todas as pequenas parcelas de trabalho dW=P\,dV ao longo da variação de volume; quando P=C/V a integral é a integral do tipo 1/V, que resulta em logaritmo natural.

Passo 3

Cálculo simbólico da integral (passo a passo).
  • A constante C pode sair da integral:
W=C\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,dV.
  • A integral de 1/V é o logaritmo natural:
\int_{V_i}^{V_f}\frac{1}{V}\,dV=\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Portanto a expressão fechada para o trabalho é
W=C\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
  • Como C= P_i V_i (porque no estado inicial também vale P_iV_i=C), podemos escrever
W = P_i V_i \ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right).
Comentário didático: essa é a fórmula clássica do trabalho para um processo isotérmico (ou mais geralmente para qualquer processo com PV= constante). As variáveis são: W = trabalho (J), P_i = pressão inicial (Pa), V_i e V_f = volumes inicial e final (m³). O ln é o logaritmo natural (base e).

Passo 4

Converter todos os dados para unidades do SI (essencial para o resultado em joules).
  • Conversões usadas:
    • 1\,\text{atm}=1,01325\times10^{5}\\ \text{Pa}.
    • 1\,\text{dm}^{3}=1\times10^{-3}\\ \text{m}^{3}.
  • Converter a pressão:
P_i = 1,94\times1,01325\times10^{5}\\ \text{Pa} = 1,965705\times10^{5}\\ \text{Pa}.
  • Converter os volumes:
V_i = 25\times10^{-3}\\ \text{m}^{3} = 0,025\\ \text{m}^{3},
V_f = 40\times10^{-3}\\ \text{m}^{3} = 0,040\\ \text{m}^{3}.

Passo 5

Calcular a constante C = P_i V_i.
  • Multiplicando em SI:
C = P_i V_i = \left(1,965705\times10^{5}\right)\times 0,025\\ \text{J} = 4,9142625\times10^{3}\\ \text{J}.
(Nota: \text{Pa}\cdot\text{m}^{3}=\text{J}.)

Passo 6

Calcular o logaritmo da razão de volumes e então o trabalho numérico.
  • Razão de volumes:
\frac{V_f}{V_i}=\frac{0,040}{0,025}=1,6.
  • Logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{V_f}{V_i}\right)=\ln(1,6)\approx 0,470003629.
  • Aplicando a fórmula W=C\ln(V_f/V_i):
W = 4,9142625\times10^{3}\times 0,470003629 \approx 2,309721\times10^{3}\\ \text{J}.

Passo 7

Interpretação física e arredondamento final.
  • O trabalho calculado é positivo, o que significa que o gás realizou trabalho sobre o ambiente (expansão).
  • Arredondando com três algarismos significativos, obtém‑se W \approx 2,31\times10^{3}\\ \text{J}, isto é cerca de 2,31\\ \text{kJ}.
  • Força motivadora: esse é um cálculo direto que dá para fazer na prova — basta lembrar W=\int P\,dV e que, se PV= constante, P=C/V e a integral vira um ln.

Resposta

W=2,3097\times10^{3}\\ \text{J}

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