Consideramos como sistema o gás contido em um cilindro, provido de um êmbolo sobre o qual são colocados vários pesos pequenos. A pressão inicial é de
. O volume inicial é
.
Consideremos o mesmo sistema e as mesmas condições iniciais. Agora, porém, ao mesmo que o sistema é aquecido e o êmbolo se levanta, removemos os pesos de tal forma que durante o processo a relação entre a pressão e o volume é dada por
constante. O volume final é
. Qual é o trabalho realizado?
Consideremos o mesmo sistema e as mesmas condições iniciais. Agora, porém, ao mesmo que o sistema é aquecido e o êmbolo se levanta, removemos os pesos de tal forma que durante o processo a relação entre a pressão e o volume é dada por
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- Pedido: Calcular o trabalho realizado pelo gás durante o processo em que a relação
constante é mantida e o volume varia de um valor inicial para um valor final. - Dados fornecidos:
- Pressão inicial:
. - Volume inicial:
. - Volume final:
.
- Pressão inicial:
- Informação adicional que está implícita no enunciado e que vamos usar: trata‑se de um processo quasi‑estático (o êmbolo se levanta lentamente) com a relação
constante durante o processo.
Passo 2
Conceito de trabalho em um processo quasi‑estático e fórmula que vamos usar.
- Em termodinâmica, o trabalho realizado pelo gás ao se expandir de
até em um processo quasi‑estático é dado por
onde
é a pressão do gás como função do volume durante o processo.
- Aqui o enunciado diz que
constante durante o processo. Vou chamar essa constante de . Assim,
- Substituindo na integral obtemos a forma que vamos integrar:
Explicação curta do porquê: integrar
soma todas as pequenas parcelas de trabalho
ao longo da variação de volume; quando
a integral é a integral do tipo
, que resulta em logaritmo natural.
Passo 3
Cálculo simbólico da integral (passo a passo).
- A constante
pode sair da integral:
- A integral de
é o logaritmo natural:
- Portanto a expressão fechada para o trabalho é
- Como
(porque no estado inicial também vale ), podemos escrever
Comentário didático: essa é a fórmula clássica do trabalho para um processo isotérmico (ou mais geralmente para qualquer processo com
constante). As variáveis são:
= trabalho (J),
= pressão inicial (Pa),
e
= volumes inicial e final (m³). O ln é o logaritmo natural (base
).
Passo 4
Converter todos os dados para unidades do SI (essencial para o resultado em joules).
- Conversões usadas:
-
- Converter a pressão:
- Converter os volumes:
Passo 5
Calcular a constante
.
- Multiplicando em SI:
(Nota:
.)
Passo 6
Calcular o logaritmo da razão de volumes e então o trabalho numérico.
- Razão de volumes:
- Logaritmo natural:
- Aplicando a fórmula
:
Passo 7
Interpretação física e arredondamento final.
- O trabalho calculado é positivo, o que significa que o gás realizou trabalho sobre o ambiente (expansão).
- Arredondando com três algarismos significativos, obtém‑se
, isto é cerca de . - Força motivadora: esse é um cálculo direto que dá para fazer na prova — basta lembrar
e que, se constante, e a integral vira um ln.