Ar está contido em um conjunto cilindro-pistão vertical equipado com uma resistência elétrica. A atmosfera exerce uma pressão de 14,7 \mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}(101,3 \mathrm{kPa}) no topo do pistão, que possui uma massa de 100 \mathrm{lb}(45,4 \mathrm{~kg}) e cuja área da face é de 1 \mathrm{ft}^{2}\left(0,09 \mathrm{~m}^{2}\right). Uma corrente elétrica passa através da resistência e o volume de ar aumenta lentamente de 1,6 \mathrm{ft}^{3}\left(0,04 \mathrm{~m}^{3}\right), enquanto sua pressão permanece constante. A massa do ar é 0,6 \mathrm{lb}(0,27 \mathrm{~kg}) e sua energia interna específica aumenta de 18 \mathrm{Btu} / \mathrm{lb}(41,9 \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} ).
O ar e o pistão estão em repouso no início e no fim do processo. O material do cilindro-pistão é um composto cerâmico e, portanto, um bom isolante. O atrito entre o pistão e a parede do cilindro pode ser desprezado, e a aceleração da gravidade é \mathrm{g}=32,0 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2}\left(9,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right).
Determine a transferência de calor da resistência para o ar, em Btu, para um sistema composto de:
(a) apenas ar
(b) ar e pistão

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede a transferência de calor da resistência para o ar (em Btu) considerando dois sistemas: (a) apenas o ar; (b) ar + pistão.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Pressão atmosférica no topo do pistão: P_{\text{atm}}=14{,}7\\ \mathrm{lbf/in^2}\\ (101{,}3\\ \mathrm{kPa}).
    • Massa do pistão: m_{\text{p}}=100\\ \mathrm{lb} (foi dado também 45{,}4\\ \mathrm{kg}).
    • Área da face do pistão: A=1\\ \mathrm{ft^2}\\ (0{,}09\\ \mathrm{m^2}).
    • Variação de volume do ar: \Delta V=1{,}6\\ \mathrm{ft^3}\\ (0{,}04\\ \mathrm{m^3}). O processo é lento e a pressão do ar permanece constante.
    • Massa do ar: m_{\text{ar}}=0{,}6\\ \mathrm{lb}\\ (0{,}27\\ \mathrm{kg}).
    • Aumento da energia interna específica do ar: \Delta u=18\\ \mathrm{Btu/lb}\\ (41{,}9\\ \mathrm{kJ/kg}).
    • O ar e o pistão estão em repouso no início e no fim do processo.
    • O cilindro é isolante e atrito é desprezível.
    • Aceleração da gravidade: g=32{,}0\\ \mathrm{ft/s^2}\\ (9{,}7\\ \mathrm{m/s^2}).
  • Observação importante: usar sempre a primeira lei da termodinâmica e cuidar das escolhas de sistema (o que entra como trabalho exterior, quais energias mudam, etc.).

Passo 2

Determinar a pressão constante do ar que realiza o trabalho (pressão interna que equilibra atmosfera + peso do pistão).
  1. Calcular o peso (força) do pistão em \mathrm{N} e converter para \mathrm{lbf}. Usarei a massa dada em kg para ser explícito:
m_{\text{p}}=45{,}4\\ \mathrm{kg},\qquad g=9{,}7\\ \mathrm{m/s^2}
W_{\text{p}}=m_{\text{p}}\,g=45{,}4\times 9{,}7=440{,}38\\ \mathrm{N}.
Converter para \mathrm{lbf} usando 1\\ \mathrm{lbf}=4{,}44822\\ \mathrm{N}:
W_{\text{p}}=\frac{440{,}38}{4{,}44822}=99{,}0\\ \mathrm{lbf}.
  1. Converter a pressão atmosférica para \mathrm{lbf/ft^2} (porque V está em \mathrm{ft^3}):
P_{\text{atm}}=14{,}7\\ \mathrm{lbf/in^2}\times 144\\ \frac{\mathrm{in^2}}{\mathrm{ft^2}}=14{,}7\times144=2116{,}8\\ \mathrm{lbf/ft^2}.
  1. Pressão adicional do pistão sobre a área A=1\\ \mathrm{ft^2} é simplesmente W_{\text{p}}/A:
\Delta P_{\text{piston}}=\frac{99{,}0\\ \mathrm{lbf}}{1\\ \mathrm{ft^2}}=99{,}0\\ \mathrm{lbf/ft^2}.
  1. Pressão total (internamente) que equilibra atmosfera + pistão:
P = P_{\text{atm}}+\Delta P_{\text{piston}}=2116{,}8+99{,}0=2215{,}8\\ \mathrm{lbf/ft^2}.
(Se preferir em \mathrm{lbf/in^2}: P=(2215{,}8/144)=15{,}3875\\ \mathrm{lbf/in^2}.)

Passo 3

Preparação da energia: variação de energia interna do ar.
  • A variação de energia interna do ar (sistema fechado com massa fixa) é
\Delta U = m_{\text{ar}}\Delta u.
Explicando a fórmula: m_{\text{ar}} é a massa total do ar no sistema (em \mathrm{lb} aqui), \Delta u é a variação da energia interna específica por unidade de massa (em \mathrm{Btu/lb}). Multiplicando obtém-se \Delta U em Btu.
  • Substituindo:
\Delta U = 0{,}6\\ \mathrm{lb}\times 18\\ \mathrm{Btu/lb}=10{,}8\\ \mathrm{Btu}.

Passo 4

Cálculo do trabalho de fronteira (trabalho de expansão) — preciso explicar como calcular e converter unidades para Btu.
  • Para um processo à pressão constante, o trabalho de expansão (feito PELO sistema) é
W_{\text{exp}}=P\,\Delta V.
Aqui P deve estar em \mathrm{lbf/ft^2} e \Delta V em \mathrm{ft^3}, assim W_{\text{exp}} sai em \mathrm{ft\cdot lbf}.
  • Depois converte-se \mathrm{ft\cdot lbf} para \mathrm{Btu} usando 1\\ \mathrm{Btu}=778{,}169\\ \mathrm{ft\cdot lbf}.
  • Usando P=2215{,}8\\ \mathrm{lbf/ft^2} e \Delta V=1{,}6\\ \mathrm{ft^3}:
W_{\text{exp}}=2215{,}8\times 1{,}6=3545{,}28\\ \mathrm{ft\cdot lbf}.
Converter para Btu:
W_{\text{exp}}=\frac{3545{,}28}{778{,}169}=4{,}555\\ \mathrm{Btu}.

Passo 5

Resolver o item (a): sistema = apenas o ar (sistema fechado).
  • Aplicar a primeira lei para sistema fechado (sem variação de energia cinética nem potencial do ar):
\Delta E = Q - W \quad\Longrightarrow\quad Q = \Delta E + W.
Aqui \Delta E=\Delta U (pois \Delta KE=\Delta PE=0 para o ar), e W é o trabalho de expansão W_{\text{exp}} calculado no passo anterior.
  • Logo:
Q_{(a)}=\Delta U + W_{\text{exp}}=10{,}8\\ \mathrm{Btu}+4{,}555\\ \mathrm{Btu}=15{,}355\\ \mathrm{Btu}.
Arredondando convenientemente:
Q_{(a)}\approx 15{,}36\\ \mathrm{Btu}.

Passo 6

Resolver o item (b): sistema = ar + pistão.
  • Agora o sistema inclui o pistão. É importante identificar o trabalho externo sobre o sistema e as variações de energia internas do sistema.
    • Trabalho realizado PELO sistema sobre o ambiente é apenas o trabalho realizado contra a pressão atmosférica externa que age sobre o pistão: W_{\text{ext}}=P_{\text{atm}}\Delta V. Explicação: a superfície externa do sistema vê só a atmosfera; o peso do pistão é parte interna do sistema agora.
    • A energia do sistema muda por duas parcelas relevantes: variação de energia interna do ar \Delta U e variação de energia potencial gravitacional do pistão \Delta PE_{\text{p}}. A energia interna do próprio pistão (temperatura) foi considerada inexistente ou constante pelo enunciado.
  • Calcular W_{\text{ext}}:
W_{\text{ext}}=P_{\text{atm}}\Delta V=2116{,}8\\ \mathrm{lbf/ft^2}\times 1{,}6\\ \mathrm{ft^3}=3386{,}88\\ \mathrm{ft\cdot lbf}.
Converter para Btu:
W_{\text{ext}}=\frac{3386{,}88}{778{,}169}=4{,}352\\ \mathrm{Btu}.
  • Calcular a variação de energia potencial do pistão: deslocamento vertical do pistão
\Delta z=\frac{\Delta V}{A}=\frac{1{,}6\\ \mathrm{ft^3}}{1\\ \mathrm{ft^2}}=1{,}6\\ \mathrm{ft}.
Variação de energia potencial (em \mathrm{ft\cdot lbf}):
\Delta PE_{\text{p}}=W_{\text{p}}\times \Delta z =99{,}0\\ \mathrm{lbf}\times 1{,}6\\ \mathrm{ft}=158{,}4\\ \mathrm{ft\cdot lbf}.
Converter para Btu:
\Delta PE_{\text{p}}=\frac{158{,}4}{778{,}169}=0{,}2036\\ \mathrm{Btu}.
  • Aplicar novamente a primeira lei (para o sistema ar+pistão):
Q_{(b)} = \Delta U_{\text{ar}} + \Delta PE_{\text{p}} + W_{\text{ext}}.
Substituindo valores:
Q_{(b)} = 10{,}8\\ \mathrm{Btu} + 0{,}2036\\ \mathrm{Btu} + 4{,}352\\ \mathrm{Btu} = 15{,}3556\\ \mathrm{Btu}.
Arredondando:
Q_{(b)}\approx 15{,}36\\ \mathrm{Btu}.

Passo 7

Comentário final curto (didático e útil):
  • Note que Q_{(a)} e Q_{(b)} dão praticamente o mesmo valor (diferenças apenas por arredondamento). Isso acontece porque, ao mudar a escolha do sistema, o trabalho de fronteira e as variações internas de energia se rearranjam de modo que a energia térmica requerida para levar o conjunto do estado inicial ao final permanece a mesma — a primeira lei garante consistência entre escolhas de sistema se todas as contribuições forem corretamente incluídas.

Resposta

(a) 15{,}36\\ \mathrm{Btu}
(b) 15{,}36\\ \mathrm{Btu}

Exercícios relacionados