Ar está contido em um conjunto cilindro-pistão vertical equipado com uma resistência elétrica. A atmosfera exerce uma pressão de
no topo do pistão, que possui uma massa de
e cuja área da face é de
. Uma corrente elétrica passa através da resistência e o volume de ar aumenta lentamente de
, enquanto sua pressão permanece constante. A massa do ar é
e sua energia interna específica aumenta de
).
O ar e o pistão estão em repouso no início e no fim do processo. O material do cilindro-pistão é um composto cerâmico e, portanto, um bom isolante. O atrito entre o pistão e a parede do cilindro pode ser desprezado, e a aceleração da gravidade é
.
Determine a transferência de calor da resistência para o ar, em Btu, para um sistema composto de:
(a) apenas ar
(b) ar e pistão
(a) apenas ar
(b) ar e pistão
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
- Pede a transferência de calor da resistência para o ar (em Btu) considerando dois sistemas: (a) apenas o ar; (b) ar + pistão.
- Dados (pegos do enunciado):
- Pressão atmosférica no topo do pistão:
. - Massa do pistão:
(foi dado também ). - Área da face do pistão:
. - Variação de volume do ar:
. O processo é lento e a pressão do ar permanece constante. - Massa do ar:
. - Aumento da energia interna específica do ar:
. - O ar e o pistão estão em repouso no início e no fim do processo.
- O cilindro é isolante e atrito é desprezível.
- Aceleração da gravidade:
.
- Pressão atmosférica no topo do pistão:
- Observação importante: usar sempre a primeira lei da termodinâmica e cuidar das escolhas de sistema (o que entra como trabalho exterior, quais energias mudam, etc.).
Passo 2
Determinar a pressão constante do ar que realiza o trabalho (pressão interna que equilibra atmosfera + peso do pistão).
- Calcular o peso (força) do pistão em
e converter para . Usarei a massa dada em kg para ser explícito:
Converter para
usando
:
- Converter a pressão atmosférica para
(porque está em ):
- Pressão adicional do pistão sobre a área
é simplesmente :
- Pressão total (internamente) que equilibra atmosfera + pistão:
(Se preferir em
:
.)
Passo 3
Preparação da energia: variação de energia interna do ar.
- A variação de energia interna do ar (sistema fechado com massa fixa) é
Explicando a fórmula:
é a massa total do ar no sistema (em
aqui),
é a variação da energia interna específica por unidade de massa (em
). Multiplicando obtém-se
em Btu.
- Substituindo:
Passo 4
Cálculo do trabalho de fronteira (trabalho de expansão) — preciso explicar como calcular e converter unidades para Btu.
- Para um processo à pressão constante, o trabalho de expansão (feito PELO sistema) é
Aqui
deve estar em
e
em
, assim
sai em
.
- Depois converte-se
para usando . - Usando
e :
Converter para Btu:
Passo 5
Resolver o item (a): sistema = apenas o ar (sistema fechado).
- Aplicar a primeira lei para sistema fechado (sem variação de energia cinética nem potencial do ar):
Aqui
(pois
para o ar), e
é o trabalho de expansão
calculado no passo anterior.
- Logo:
Arredondando convenientemente:
Passo 6
Resolver o item (b): sistema = ar + pistão.
- Agora o sistema inclui o pistão. É importante identificar o trabalho externo sobre o sistema e as variações de energia internas do sistema.
- Trabalho realizado PELO sistema sobre o ambiente é apenas o trabalho realizado contra a pressão atmosférica externa que age sobre o pistão:
. Explicação: a superfície externa do sistema vê só a atmosfera; o peso do pistão é parte interna do sistema agora. - A energia do sistema muda por duas parcelas relevantes: variação de energia interna do ar
e variação de energia potencial gravitacional do pistão . A energia interna do próprio pistão (temperatura) foi considerada inexistente ou constante pelo enunciado.
- Trabalho realizado PELO sistema sobre o ambiente é apenas o trabalho realizado contra a pressão atmosférica externa que age sobre o pistão:
- Calcular
:
Converter para Btu:
- Calcular a variação de energia potencial do pistão: deslocamento vertical do pistão
Variação de energia potencial (em
):
Converter para Btu:
- Aplicar novamente a primeira lei (para o sistema ar+pistão):
Substituindo valores:
Arredondando:
Passo 7
Comentário final curto (didático e útil):
- Note que
e dão praticamente o mesmo valor (diferenças apenas por arredondamento). Isso acontece porque, ao mudar a escolha do sistema, o trabalho de fronteira e as variações internas de energia se rearranjam de modo que a energia térmica requerida para levar o conjunto do estado inicial ao final permanece a mesma — a primeira lei garante consistência entre escolhas de sistema se todas as contribuições forem corretamente incluídas.
Resposta
(a)
(b)