Considerando um circuito RLC Série, calcule os valores da impedância (forma polar), da corrente do circuito, das tensões v_{R}, v_{L}, v_{C} e da potência ativa para os casos abaixo:
v=10 \angle 30^{\circ} \mathrm{V} ; R=60 \Omega ; X_{L}=150 \Omega ; X_{C}=120 \Omega

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo de forma clara para não nos perdermos):
v=10\angle30^\circ\\ \mathrm{V};\quad R=60\\ \Omega;\quad X_L=150\\ \Omega;\quad X_C=120\\ \Omega.
O que o problema pede:
  • calcular a impedância do circuito em forma polar;
  • calcular a corrente do circuito (fasor);
  • calcular as tensões \,v_R,\;v_L,\;v_C (fasores);
  • calcular a potência ativa do circuito.

Passo 2

Entendendo o que vamos usar (de forma bem prática):
  • Em série o resistor e as reatâncias somam-se como números complexos: a impedância total é a soma da resistência com a reatância líquida (reatância indutiva menos capacitiva).
  • Definição (fórmula): \displaystyle Z = R + jX, onde \displaystyle X = X_L - X_C. Aqui j é a unidade imaginária que indica defasagem de 90^\circ.
    Vou calcular primeiro a reatância líquida:
X = X_L - X_C = 150 - 120 = 30\\ \Omega.
Logo a impedância em forma retangular é
Z = R + jX = 60 + j30\\ \Omega.
Para passar à forma polar usamos as fórmulas:
|Z|=\sqrt{R^{2}+X^{2}},\qquad \angle Z = \arctan\!\left(\frac{X}{R}\right).
Calculando:
|Z|=\sqrt{60^{2}+30^{2}}=\sqrt{3600+900}=\sqrt{4500}=67,082\\ \Omega,
\angle Z=\arctan\!\left(\frac{30}{60}\right)=\arctan(0,5)=26,565^\circ.
Portanto em forma polar:
Z=67,082\angle26,565^\circ\\ \Omega.

Passo 3

Agora a corrente do circuito — usamos divisão de fasores. Regra prática: ao dividir fasores, divide-se as magnitudes e subtrai-se os ângulos.
Fórmula:
I=\frac{V}{Z}.
Como V=10\angle30^\circ e Z=67,082\angle26,565^\circ,
|I|=\frac{10}{67,082}=0,14907\\ \mathrm{A},
\angle I = 30^\circ - 26,565^\circ = 3,435^\circ.
Então podemos escrever
I=0,1491\angle3,435^\circ\\ \mathrm{A}.
(Arredondei a magnitude para quatro casas significativas na escrita final; durante contas intermédias podemos manter mais dígitos.)

Passo 4

Tensão no resistor \,v_R. Como o resistor não introduce defasagem, a tensão no resistor está em fase com a corrente. Fórmula:
v_R = I\cdot R.
Usando magnitude e ângulo:
|v_R| = |I|\cdot R = 0,14907\cdot60 = 8,9442\\ \mathrm{V},
\angle v_R = \angle I = 3,435^\circ.
Portanto
v_R = 8,944\angle3,435^\circ\\ \mathrm{V}.
Raciocínio rápido (intuitivo): o resistor transforma corrente em queda de tensão sem deslocamento de fase.

Passo 5

Tensão na indutância \,v_L. Para um indutor a tensão adianta a corrente em 90^\circ (ou multiplicar por jX_L). Fórmula:
v_L = jX_L \, I.
Em termos de magnitudes e ângulos: magnitude =|I|\cdot X_L e ângulo =\angle I + 90^\circ.
|v_L| = 0,14907\cdot150 = 22,3605\\ \mathrm{V},
\angle v_L = 3,435^\circ + 90^\circ = 93,435^\circ.
Logo
v_L = 22,361\angle93,435^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 6

Tensão no capacitor \,v_C. Para um capacitor a tensão atrasa a corrente em 90^\circ (ou multiplicar por -jX_C). Fórmula:
v_C = -\,jX_C \, I.
Magnitude =|I|\cdot X_C e ângulo =\angle I - 90^\circ.
|v_C| = 0,14907\cdot120 = 17,8884\\ \mathrm{V},
\angle v_C = 3,435^\circ - 90^\circ = -86,565^\circ.
Portanto
v_C = 17,888\angle-86,565^\circ\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Verificação (checando que a soma fasorial das tensões é a fonte): somando v_R+v_L+v_C em forma retangular obtemos aproximadamente 10\angle30^\circ. Isso confirma que os cálculos estão consistentes com a lei das malhas (KVL) — fiz uma checagem numérica rápida por retângulares nos cálculos intermédios e a soma deu \approx 8,6595 + j4,9995, que corresponde a 10\angle30^\circ. É sempre bom conferir para pegar possíveis erros aritméticos.

Passo 8

Potência ativa (real) consumida pelo circuito. Apenas o resistor dissipa potência ativa; as reatâncias trocam potência reativa mas não dissipam energia. Fórmulas equivalentes (assumindo que V e I são valores eficazes/RMS, como é convencional em fasores):
P = I_{\text{rms}}^{2}\,R = V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre V e I (aqui \varphi=\angle Z=26,565^\circ).
Calculei com I:
P = |I|^{2}R = (0,14907)^{2}\cdot60 = 1,3333\\ \mathrm{W}.
Também dá (verificação):
P = V\cdot I\cdot\cos\varphi = 10\cdot0,14907\cdot\cos(26,565^\circ)=1,3333\\ \mathrm{W}.

Resposta

\displaystyle Z=67,082\angle26,565^\circ\\ \Omega
\displaystyle I=0,1491\angle3,435^\circ\\ \mathrm{A}
\displaystyle v_{R}=8,944\angle3,435^\circ\\ \mathrm{V}
\displaystyle v_{L}=22,361\angle93,435^\circ\\ \mathrm{V}
\displaystyle v_{C}=17,888\angle-86,565^\circ\\ \mathrm{V}
\displaystyle P=1,3333\\ \mathrm{W}