Considerando as constantes de van der Waals na tabela ao lado, calcule as pressões exercidas por 0,5 \mathrm{~mol} de cada gás dentro de um recipiente de 0,5 \mathrm{~L} a 20^{\circ} \mathrm{C}. Se fosse um gás ideal, qual seria a pressão de cada um deles? Seria maior ou menor? Justifique fisicamente o motivo da diferença das pressões dos gases ideal e real para cada tipo de gás.
Atenção: use esse valor para a constante dos gases ideais:
R=0,082(\mathrm{~atm} \cdot \mathrm{~L}) /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K})
Gas a\left(\frac{\mathrm{~atm} \mathrm{~L}^{2}}{\mathrm{~mol}^{2}}\right) b\left(\frac{\mathrm{~L}}{\mathrm{~mol}}\right)
He 0.034 0.0237
\mathrm{H}_{2} 0.244 0.0266
\mathrm{~N}_{2} 1.39 0.0391
\mathrm{O}_{2} 1.36 0.0318
\mathrm{Cl}_{2} 6.49 0.0562
\mathrm{CO}_{2} 3.59 0.0427
\mathrm{CH}_{4} 2.25 0.0428

Passo 1

O enunciado pede para cada gás da tabela: (1) calcular a pressão real usando a equação de van der Waals para n=0,5\\ \mathrm{mol}, V=0,5\\ \mathrm{L} e T=20^\circ\mathrm{C}; (2) calcular a pressão supondo gás ideal; (3) comparar os valores e justificar fisicamente as diferenças.
Informações fornecidas (pego do enunciado):
  • n=0,5\\ \mathrm{mol}.
  • V=0,5\\ \mathrm{L}.
  • T=20^\circ\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • R=0{,}082\\ \dfrac{\mathrm{atm\cdot L}}{\mathrm{mol\cdot K}}.
  • Para cada gás são dados os parâmetros de van der Waals a (em \mathrm{atm\;L}^2\!/\mathrm{mol}^2) e b (em \mathrm{L}/\mathrm{mol}) conforme a tabela do enunciado.
As duas quantidades que vamos calcular:
  • Pressão ideal: P_{\text{ideal}}=\frac{nRT}{V}.
  • Pressão pela equação de van der Waals: \Bigl(P + a\frac{n^2}{V^2}\Bigr)(V-nb)=nRT, que isolada para P vira P=\frac{nRT}{V-nb}-a\frac{n^2}{V^2}.

Passo 2

Explicação e cálculo da pressão do gás ideal.
  • Fórmula: P_{\text{ideal}}=\frac{nRT}{V}.
    • n é o número de mols (aqui 0,5\\ \mathrm{mol}).
    • R é a constante dos gases (aqui 0{,}082\\ \mathrm{atm\cdot L/(mol\cdot K)}).
    • T é a temperatura absoluta em kelvin ( 293{,}15\\ \mathrm{K}).
    • V é o volume em litros ( 0,5\\ \mathrm{L}).
Cálculo numérico:
P_{\text{ideal}}=\frac{0{,}5\cdot 0{,}082\cdot 293{,}15}{0{,}5}.
Note que o fator 0{,}5 no numerador cancela o 0{,}5 do denominador, então
P_{\text{ideal}}=0{,}082\cdot 293{,}15.
Calculando:
P_{\text{ideal}}=24{,}0383\\ \mathrm{atm}.
Portanto, se fossem gases ideais, todos os gases teriam a mesma pressão P_{\text{ideal}}=24{,}0383\\ \mathrm{atm} nas condições dadas (porque n/V=1{,}0\\ \mathrm{mol/L}).

Passo 3

Explicação da equação de van der Waals e significado de a e b.
  • A equação de van der Waals corrige o modelo do gás ideal incluindo:
    • o termo b que representa o volume ocupado pelas moléculas (volume excluído): reduz o volume efetivo disponível para o movimento molecular; isso tende a aumentar a pressão comparada ao ideal, porque o gás “tem menos espaço”.
    • o termo a que mede a atração intermolecular média: essas forças atraem moléculas umas às outras, reduzindo o impacto das colisões nas paredes do recipiente, e portanto tendem a diminuir a pressão comparada ao ideal.
  • A equação (novamente): P=\frac{nRT}{V-nb}-a\frac{n^2}{V^2}.
    • O primeiro termo \dfrac{nRT}{V-nb} é semelhante ao gás ideal, mas com volume disponível reduzido de V para V-nb (aumenta P).
    • O segundo termo a\frac{n^2}{V^2} é subtraído (diminui P).
Observação útil para este problema: com n=0{,}5\\ \mathrm{mol} e V=0{,}5\\ \mathrm{L} temos \dfrac{n}{V}=1{,}0\\ \mathrm{mol/L}, então
a\frac{n^2}{V^2}=a\cdot\Bigl(\frac{n}{V}\Bigr)^{2}=a\cdot 1^2=a.
Isso simplifica a subtração: o termo atrativo vira simplesmente a numericamente.
Também calculamos nRT:
nRT=0{,}5\cdot 0{,}082\cdot 293{,}15=12{,}01915\\ \mathrm{atm\cdot L}.

Passo 4

Cálculo passo a passo da pressão real (van der Waals) para cada gás.
A fórmula que usaremos numericamente:
P=\frac{nRT}{V-nb}-a\frac{n^2}{V^2}=\frac{12{,}01915}{0{,}5-0{,}5\,b}-a,
onde para cada gás substituímos os valores de a e b dados na tabela. Para facilitar a conta podemos escrever \dfrac{12{,}01915}{0{,}5-0{,}5b}=\dfrac{24{,}0383}{1-b} numericamente (mesma aproximação aritmética devido aos valores dados). Vou mostrar os cálculos numéricos arredondados com 3 casas decimais quando apropriado.
  1. Hélio (He): a=0{,}034,\\ b=0{,}0237.
V-nb=0{,}5-0{,}5\cdot 0{,}0237=0{,}48815\\ \mathrm{L}.
\frac{nRT}{V-nb}=\frac{12{,}01915}{0{,}48815}\approx 24{,}620\\ \mathrm{atm}.
P_{\text{vdW}}=24{,}620-0{,}034=24{,}586\\ \mathrm{atm}.
  1. Hidrogênio ( \mathrm{H_2}): a=0{,}244,\\ b=0{,}0266.
V-nb=0{,}5-0{,}5\cdot 0{,}0266=0{,}4867\\ \mathrm{L}.
\frac{nRT}{V-nb}\approx\frac{12{,}01915}{0{,}4867}\approx 24{,}693\\ \mathrm{atm}.
P_{\text{vdW}}=24{,}693-0{,}244=24{,}449\\ \mathrm{atm}.
  1. Nitrogênio ( \mathrm{N_2}): a=1{,}39,\\ b=0{,}0391.
V-nb=0{,}5-0{,}5\cdot 0{,}0391=0{,}48045\\ \mathrm{L}.
\frac{nRT}{V-nb}\approx\frac{12{,}01915}{0{,}48045}\approx 25{,}017\\ \mathrm{atm}.
P_{\text{vdW}}=25{,}017-1{,}39=23{,}627\\ \mathrm{atm}.
  1. Oxigênio ( \mathrm{O_2}): a=1{,}36,\\ b=0{,}0318.
V-nb=0{,}5-0{,}5\cdot 0{,}0318=0{,}4841\\ \mathrm{L}.
\frac{nRT}{V-nb}\approx\frac{12{,}01915}{0{,}4841}\approx 24{,}830\\ \mathrm{atm}.
P_{\text{vdW}}=24{,}830-1{,}36=23{,}470\\ \mathrm{atm}.
  1. Cloro ( \mathrm{Cl_2}): a=6{,}49,\\ b=0{,}0562.
V-nb=0{,}5-0{,}5\cdot 0{,}0562=0{,}4719\\ \mathrm{L}.
\frac{nRT}{V-nb}\approx\frac{12{,}01915}{0{,}4719}\approx 25{,}483\\ \mathrm{atm}.
P_{\text{vdW}}=25{,}483-6{,}49=18{,}993\\ \mathrm{atm}.
  1. Dióxido de carbono ( \mathrm{CO_2}): a=3{,}59,\\ b=0{,}0427.
V-nb=0{,}5-0{,}5\cdot 0{,}0427=0{,}47865\\ \mathrm{L}.
\frac{nRT}{V-nb}\approx\frac{12{,}01915}{0{,}47865}\approx 25{,}115\\ \mathrm{atm}.
P_{\text{vdW}}=25{,}115-3{,}59=21{,}525\\ \mathrm{atm}.
  1. Metano ( \mathrm{CH_4}): a=2{,}25,\\ b=0{,}0428.
V-nb=0{,}5-0{,}5\cdot 0{,}0428=0{,}4786\\ \mathrm{L}.
\frac{nRT}{V-nb}\approx\frac{12{,}01915}{0{,}4786}\approx 25{,}119\\ \mathrm{atm}.
P_{\text{vdW}}=25{,}119-2{,}25=22{,}869\\ \mathrm{atm}.
(Os arredondamentos foram feitos nas últimas casas decimais; a ideia é acompanhar a ordem de grandeza e a comparação com P_{\text{ideal}}=24{,}0383\\ \mathrm{atm}.)

Passo 5

Comparação numérica e interpretação física (por gás), com linguagem direta e intuitiva.
  • Observação geral: P_{\text{ideal}}=24{,}0383\\ \mathrm{atm} para todos. A pressão real P_{\text{vdW}} difere por causa de dois efeitos concorrentes:
    • efeito do b (volume molecular finito): reduz V-nb e faz o primeiro termo crescer (tende a aumentar P em relação ao ideal);
    • efeito do a (atrações intermoleculares): subtrai um valor da pressão (tende a diminuir P em relação ao ideal).
      O sinal da diferença P_{\text{vdW}}-P_{\text{ideal}} depende de qual efeito domina.
Agora, por gás:
  • He: P_{\text{vdW}}\approx 24{,}586\\ \mathrm{atm} > P_{\text{ideal}}=24{,}038\\ \mathrm{atm}.
    Justificativa: hélio tem a muito pequeno (forças de atração fracas) e b pequeno; o efeito de volume excluído (aumenta a pressão) vence levemente, por isso a pressão real é um pouco maior que a ideal.
  • \mathrm{H_2}: P_{\text{vdW}}\approx 24{,}449\\ \mathrm{atm} > P_{\text{ideal}}.
    Justificativa: hidrogênio também tem forças atrativas fracas (a pequeno), então o efeito de b predomina ligeiramente; pressão real levemente maior.
  • \mathrm{N_2}: P_{\text{vdW}}\approx 23{,}627\\ \mathrm{atm} < P_{\text{ideal}}.
    Justificativa: para nitrogênio o parâmetro a é suficiente para reduzir a pressão mais do que o aumento devido ao b; forças atraentes dominam, então a pressão real é menor.
  • \mathrm{O_2}: P_{\text{vdW}}\approx 23{,}470\\ \mathrm{atm} < P_{\text{ideal}}.
    Justificativa: comportamento semelhante ao de \mathrm{N_2}; atrações intermoleculares dominam.
  • \mathrm{Cl_2}: P_{\text{vdW}}\approx 18{,}993\\ \mathrm{atm} \ll P_{\text{ideal}}.
    Justificativa: cloro tem um a muito grande (moléculas grandes e altamente polarizáveis), logo as forças atrativas são fortes e reduzem muito a pressão real em comparação com o ideal.
  • \mathrm{CO_2}: P_{\text{vdW}}\approx 21{,}525\\ \mathrm{atm} < P_{\text{ideal}}.
    Justificativa: a relativamente grande; atrações dominam sobre o efeito de b, portanto pressão real menor.
  • \mathrm{CH_4}: P_{\text{vdW}}\approx 22{,}869\\ \mathrm{atm} < P_{\text{ideal}}.
    Justificativa: metano tem a moderado; ainda assim as forças atrativas reduzem a pressão real abaixo da ideal.
Resumo físico simples: gases leves e pouco polarizáveis (He, H2) têm a pequeno, então a correção de volume ( b) tende a aumentar a pressão real; gases maiores e mais polarizáveis (Cl2, CO2, CH4, N2, O2) têm a maior e a redução de pressão por atrações prevalece, resultando em P_{\text{vdW}}<P_{\text{ideal}}.

Resposta

He: P_{\text{vdW}}\approx 24{,}586\\ \mathrm{atm}; P_{\text{ideal}}=24{,}038\\ \mathrm{atm}
\mathrm{H_2}: P_{\text{vdW}}\approx 24{,}449\\ \mathrm{atm}; P_{\text{ideal}}=24{,}038\\ \mathrm{atm}
\mathrm{N_2}: P_{\text{vdW}}\approx 23{,}627\\ \mathrm{atm}; P_{\text{ideal}}=24{,}038\\ \mathrm{atm}
\mathrm{O_2}: P_{\text{vdW}}\approx 23{,}470\\ \mathrm{atm}; P_{\text{ideal}}=24{,}038\\ \mathrm{atm}
\mathrm{Cl_2}: P_{\text{vdW}}\approx 18{,}993\\ \mathrm{atm}; P_{\text{ideal}}=24{,}038\\ \mathrm{atm}
\mathrm{CO_2}: P_{\text{vdW}}\approx 21{,}525\\ \mathrm{atm}; P_{\text{ideal}}=24{,}038\\ \mathrm{atm}
\mathrm{CH_4}: P_{\text{vdW}}\approx 22{,}869\\ \mathrm{atm}; P_{\text{ideal}}=24{,}038\\ \mathrm{atm}

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