Outra famosa equação de estado, que é qualitativamente mais precisa para fluidos densos, é a equação de van der Waals:
. Calcule o segundo e terceiro coeficiente virial (
e
) para um gás que obedece a equação de van der Waals, em termos de
e
.
Dica: A expansão binomial afirma que
. Isole a pressão
à esquerda e aplique esta aproximação para a quantidade
.
Resp.:
.
Dica: A expansão binomial afirma que
Resp.:
Passo 1
O enunciado fornece a equação de van der Waals
onde
é a pressão,
o número de mols,
o volume,
a constante dos gases e
a temperatura. Pede-se para calcular os coeficientes viriais de segunda e terceira ordem,
e
, em termos de
e
. A dica diz para isolar
e aplicar a expansão binomial em
.
Passo 2
Isolar
na equação de van der Waals. Multiplicando e isolando:
portanto
Passo 3
Definir a variável apropriada para a expansão virial. Introduz-se a densidade molar
A forma usual da expansão virial em potências de
é
Nosso objetivo é reescrever a expressão para
obtida no passo anterior como uma série em potências de
e então identificar
e
.
Passo 4
Tratar o primeiro termo
. Escrever em termos de
:
Aplicar a expansão binomial para
. Usando a aproximação
e tomando
e
, obtemos a ordem necessária:
(Expansão até
porque precisamos dos termos até
em
.)
Passo 5
Multiplicar a expansão pelo prefator
e incluir o segundo termo
escrito em
:
Desenvolvendo e reagrupando por potências de
:
Dividindo ambos os lados por
para comparar com a forma virial:
Passo 6
Identificar os coeficientes viriais a partir da comparação termo a termo com
Da expressão obtida no passo anterior seguem: